天体力学基础

绪论

矢量运算和场运算

参考 矢量运算和基础场论

坐标系变换

• 坐标基底变换

  $({\hat{e}}_1,{\hat{e}}_2)\to ({\hat{e}}_1^{\prime },{\hat{e}}_2^{\prime })$:

  $$({\hat{e}}_1^{\prime }{\hat{e}}_2^{\prime })=({\hat{e}}_1{\hat{e}}_2)\mathit{A}$$

• 对应矢量坐标变换

  $\mathit{\alpha }={\alpha }_1{\hat{e}}_1+{\alpha }_2{\hat{e}}_2={\alpha }_1^{\prime }{\hat{e}}_1^{\prime }+{\alpha }_2^{\prime }{\hat{e}}_2^{\prime }$:

  $$\mathit{\alpha }=({\hat{e}}_1{\hat{e}}_2)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\end{array}\right)=({\hat{e}}_1^{\prime }{\hat{e}}_2^{\prime })\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1^{\prime }\\ {\alpha }_2^{\prime }\end{array}\right)=({\hat{e}}_1{\hat{e}}_2){\mathit{A}}^{-1}\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\end{array}\right)$$$$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{\alpha }_1^{\prime }\\ {\alpha }_2^{\prime }\end{array}\right)={\mathit{A}}^{-1}\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\end{array}\right)$$

• 常用的坐标变换矩阵：

  1. 转动
  $${\mathit{R}}_x(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & \sin \theta \\ 0& -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$$${\mathit{R}}_y(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& -\sin \theta \\ 0& 1& 0\\ \sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right]$$$${\mathit{R}}_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & \sin \theta & 0\\ -\sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
  2. 宇称
  $${\mathit{P}}_x=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$$${\mathit{P}}_y=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$$${\mathit{P}}_y=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$$

二体问题

有心力对应的比耐公式

$$-m{h}^2{u}^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{\theta }^2}-m{u}^3{h}^2=F$$

derivation

$$F=m{a}_r=m(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)$$$$L=mh=m{r}^2\dot{\theta }$$$$r\equiv \frac{1}{u}$$

二体运动方程

质心系

牛顿力学给出

$${\overrightarrow{F}}_1=m_1{\ddot{\overrightarrow{r}}}_1=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^3}\overrightarrow{r}=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}\hat{r},$$$${\overrightarrow{F}}_2=m_2{\ddot{\overrightarrow{r}}}_2=-\frac{G{m}_1{m}_2}{r^3}\overrightarrow{r}=-\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}\hat{r}.$$

在质心系中

$${\ddot{\overrightarrow{r}}}_1=\frac{G{m}_2}{r^3}\overrightarrow{r}=-\frac{G{m}_2^3}{(m_1+m_2{)}^2}\frac{{\overrightarrow{r}}_1}{r_1^3},$$$${\ddot{\overrightarrow{r}}}_2=-\frac{G{m}_1}{r^3}\overrightarrow{r}=-\frac{G{m}_1^3}{(m_1+m_2{)}^2}\frac{{\overrightarrow{r}}_2}{r_2^3}.$$

相对运动方程和有效单体问题

相对位移 $\overrightarrow{r}\equiv {\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$

$$\frac{{\mathrm{d}}^2\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}{t}^2}=-G(m_1+m_2)\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}.$$

有效单体问题 (Effective One Body problem)

从非惯性系看有效单体问题

取以天体1为参考的非惯性系

$$\begin{array}{rl}{m}_2\ddot{\overrightarrow{r}}& =-\frac{G{m}_1{m}_2}{r^3}\overrightarrow{r}-m_2{\ddot{\overrightarrow{r}}}_1\\ & =-\frac{G{m}_1{m}_2}{r^3}\overrightarrow{r}-m_2\frac{G{m}_2}{r^3}\overrightarrow{r}\\ & =-G{m}_2(m_1+m_2)\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}\end{array}$$

二体运动方程求解

有效单体问题方程可简记为

$$\ddot{\overrightarrow{r}}=-\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r^3}$$

面积积分与角动量守恒

方程两边 $\overrightarrow{r}\times$ $\Rightarrow$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\overrightarrow{r}\times \dot{\overrightarrow{r}})=0$

拉普拉斯积分与轨道曲线

• 拉普拉斯积分（守恒矢量 $\overrightarrow{e}$ ）

  $$\overrightarrow{h}\times \dot{\overrightarrow{r}}+\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r}\equiv -\mu \overrightarrow{e}$$

  龙格楞次 (Runge-Lenz) 矢量即 $m\mu \overrightarrow{e}$

• 轨道曲线

  $\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{e}=-r+\frac{h^2}{\mu }=re\cos f$ $\Rightarrow$ $r=\frac{p}{1+e\cos f}$

活力积分与能量守恒

活力积分

$$E=\frac{1}{2}\dot{\overrightarrow{r}}\cdot \dot{\overrightarrow{r}}-\frac{\mu }{r}=-\frac{\mu }{2a}$$

轨道根数

• 半长径 $a$、偏心率 $e$
• 轨道倾角 $i$、升交点赤经 $\mathrm{\Omega }$、近心点幅角 $\omega$
• 平近点角 $M$、过近心点时刻 $\tau$

• 平近点角 $M$ (Mean Anomaly)
• 偏近点角 $E$ (Eccentric Anomaly)
• 真近点角 $f$ (True Anomaly)

$$\cos f=\frac{\cos E-e}{1-e\cos E}$$$$M=E-e\sin E$$

星历表计算

轨道坐标系

$$\overrightarrow{r}=a(\cos E-e)\hat{P}+a\sqrt{1-e^2}\sin E\hat{Q}$$$$\dot{\overrightarrow{r}}=\frac{n{a}^2}{r}(-\sin E\hat{P}+\sqrt{1-e^2}\cos E\hat{Q})$$

从轨道坐标系到任意坐标系

$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=R_z(\omega )R_x(\iota )R_z(\mathrm{\Omega })\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]$$$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos \omega \cos \mathrm{\Omega }-\cos \iota \sin \omega \sin \mathrm{\Omega }& \cos \iota \cos \mathrm{\Omega }\sin \omega +\cos \omega \sin \mathrm{\Omega }& \sin \iota \sin \omega \\ -\cos \mathrm{\Omega }\sin \omega -\cos \iota \cos \omega \sin \mathrm{\Omega }& \cos \iota \cos \omega \cos \mathrm{\Omega }-\sin \omega \sin \mathrm{\Omega }& \cos \omega \sin \iota \\ \sin \iota \sin \mathrm{\Omega }& -\cos \mathrm{\Omega }\sin \iota & \cos \iota \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]$$

星历表的计算

1. $M\to E$

$$M(t)=nt+M_0,E-e\sin E=M$$

2. 轨道坐标系 ($\hat{P},\hat{Q}$) $\to \overrightarrow{r},\dot{\overrightarrow{r}}$

3. 所需坐标下的 ($\hat{P},\hat{Q}$)

$$\hat{P}=\left[\begin{array}{c}\cos \omega \cos \mathrm{\Omega }-\cos \iota \sin \omega \sin \mathrm{\Omega }\\ \cos \omega \sin \mathrm{\Omega }+\cos \iota \cos \mathrm{\Omega }\sin \omega \\ \sin \iota \sin \omega \end{array}\right]$$$$\hat{Q}=\left[\begin{array}{c}-\cos \iota \cos \omega \sin \mathrm{\Omega }-\cos \mathrm{\Omega }\sin \omega \\ \cos \iota \cos \omega \cos \mathrm{\Omega }-\sin \omega \sin \mathrm{\Omega }\\ \cos \omega \sin \iota \end{array}\right]$$

• 从日心黄道坐标到日心赤道坐标 $R_x(-ϵ)$
• 从日心赤道坐标到地心赤道坐标 平移

轨道计算

• 由 $\overrightarrow{r}(t_0)$ 和 $\dot{\overrightarrow{r}}(t_0)$

  1. 由活力积分
  $$a=1/(\frac{2}{r}-\frac{v^2}{\mu })$$
  2. $\mu ,a\to n$
  $$n=\sqrt{\frac{\mu }{a^3}}$$
  3. $r,\overrightarrow{r}\cdot \dot{\overrightarrow{r}}\to e,E$
  $$e=\sqrt{(1-\frac{r}{a}{)}^2+(\frac{\overrightarrow{r}\cdot \dot{\overrightarrow{r}}}{a^{2}n}{)}^2}$$$$\tan E=(\frac{\overrightarrow{r}\cdot \dot{\overrightarrow{r}}}{a^{2}n})/(1-\frac{r}{a})$$
  4. $E\to M$
  $$M=E-e\sin E$$
  5. $\overrightarrow{r},\dot{\overrightarrow{r}}\to \hat{P},\hat{Q}$
  $$\hat{P}=\frac{\cos E}{r}\overrightarrow{r}-\frac{\sin E}{an}\dot{\overrightarrow{r}}$$$$\hat{Q}=\frac{\sin E}{r\sqrt{1-e^2}}\overrightarrow{r}+\frac{\cos E-e}{an\sqrt{1-e^2}}\dot{\overrightarrow{r}}$$
  6. $\hat{n}=\hat{P}\times \hat{Q}$
  7. $\hat{n},\hat{P},\hat{Q}\to \mathrm{\Omega },\omega ,\iota$
  $$\mathrm{\Omega }=-\arctan \frac{{\hat{n}}_x}{{\hat{n}}_y}$$$$\omega =\arctan \frac{{\hat{P}}_z}{{\hat{Q}}_z}$$$$\iota =\arccos {\hat{n}}_z$$

  5'. $\overrightarrow{h}=\overrightarrow{r}\times \dot{\overrightarrow{r}}\to \iota ,\mathrm{\Omega }$

  $$\overrightarrow{h}=A\hat{i}+B\hat{j}+C\hat{k}$$$$\cos \iota =\frac{C}{h}$$$$\cos \mathrm{\Omega }=-\frac{B}{h\sin \iota }$$

  6'. $\overrightarrow{h},\overrightarrow{e}\to \hat{n},\hat{P}\to \hat{Q}\to \omega$

  $$\overrightarrow{e}=-\frac{1}{\mu }(\overrightarrow{h}\times \dot{\overrightarrow{r}}+\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r})$$

• 由 $\overrightarrow{r}(t_1)$ 和 $\overrightarrow{r}(t_2)$

  1. 计算 $a$

     $t_1,t_2$ 时刻开普勒方程

     $$n{t}_1+M_0=E_1-e\sin E_1$$$$n{t}_2+M_0=E_2-e\sin E_2$$

     引入辅助变量 $(q,p)$ $(ϵ,\delta )$ $\sigma$

     $$q\equiv \frac{E_2-E_1}{2}$$$$\cos p\equiv e\cos \frac{E_2+E_1}{2}$$$$ϵ\equiv p+q$$$$\delta \equiv p-q$$$$\sigma \equiv |{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1|$$

     有关系式

     $$\sin \frac{ϵ}{2}=\pm \sqrt{\frac{r_1+r_2+\sigma }{4a}}$$$$\sin \frac{\delta }{2}=\pm \sqrt{\frac{r_1+r_2-\sigma }{4a}}$$

     将 4 组 $(ϵ,\delta )$ 分别带入

     $$\{\begin{array}{l}n={\displaystyle \frac{ϵ-\delta -(\sin ϵ-\sin \delta )}{t_2-t_1}}\\ \mu =n^2{a}^3\end{array}$$

  2. 计算 $e$

     $r_1,r_2,a,ϵ,\delta \to e,E_1$

     $$\{\begin{array}{l}e\sin E_1={\displaystyle \frac{(1-\frac{r_1}{a})\cos (ϵ-\delta )-(1-\frac{r_2}{a})}{\sin (ϵ-\delta )}}\\ e\cos E_1=1-\frac{r_1}{a}\end{array}$$

  3. 计算三个角度 $\mathrm{\Omega },\omega ,\iota$

     ${\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2\to \hat{P},\hat{Q}\to \mathrm{\Omega },\omega ,\iota$

状态传递

• 状态传递函数

$$\overrightarrow{r}(t)=F(t)\overrightarrow{r}(t_0)+G(t)\dot{\overrightarrow{r}}(t_0),$$$$\dot{\overrightarrow{r}}(t)=\dot{F}(t)\overrightarrow{r}(t_0)+\dot{G}(t)\dot{\overrightarrow{r}}(t_0),$$

其中

$$F(t)=1-\frac{a}{r_0}[1-\cos \mathrm{\Delta }E]$$$$G(t)=\mathrm{\Delta }t+\frac{1}{n}[\sin \mathrm{\Delta }E-\mathrm{\Delta }E]$$$$F^{\prime }(t)=-\frac{a^{2}n}{r{r}_0}\sin \mathrm{\Delta }E$$$$G^{\prime }(t)=1+\frac{a}{r}[\cos \mathrm{\Delta }E-1]$$$$\mathrm{\Delta }E=E-E_0,\mathrm{\Delta }t=t-t_0$$

又有

$$n\mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }E-(1-\frac{r_0}{a})\sin \mathrm{\Delta }E+\frac{{\overrightarrow{r}}_0\cdot {\dot{\overrightarrow{r}}}_0}{\sqrt{\mu a}}(1-\cos \mathrm{\Delta }E)$$$$a=1/(\frac{2}{r_0}-\frac{{\dot{\overrightarrow{r}}}_0\cdot {\dot{\overrightarrow{r}}}_0}{\mu }),n=\sqrt{\frac{\mu }{a^3}}$$

从初始条件 ${\overrightarrow{r}}_0,{\dot{\overrightarrow{r}}}_0$ 出发：

${\overrightarrow{r}}_0,{\dot{\overrightarrow{r}}}_0$ $\to$ $\mathrm{\Delta }E,a$ $\to$ $E,r=a(1-e\cos E)$ $\to$ $F,G,\dot{F},\dot{G}$

宇宙速度

• 第一宇宙速度

  $$\frac{1}{2}{v}_1^2-\frac{\mu }{r_{\oplus }}=E=-\frac{\mu }{2r_{\oplus }}$$$$v_1=\sqrt{\frac{\mu }{r_{\oplus }}}$$

• 第二宇宙速度

  $$\frac{1}{2}{v}_2^2-\frac{\mu }{r_{\oplus }}=E=0$$$$v_2=\sqrt{\frac{2\mu }{r_{\oplus }}}$$

• 第三宇宙速度

  记太阳的第二宇宙速度 $v_{\odot 2}=\sqrt{2{\mu }_{\odot }/d_{\odot }}$ ，地球轨道速度 $v_e$

  $$\frac{1}{2}(v_{\odot 2}-v_e{)}^2=\frac{1}{2}{v}_3^2-\frac{{\mu }_{\oplus }}{r_{\oplus }}$$$$v_3=\sqrt{\frac{2{\mu }_{\oplus }}{r_{\oplus }}+(v_{\odot 2}-v_e{)}^2}=\sqrt{v_2^2+(v_{\odot 2}-v_e{)}^2}$$

  注

  在太阳参考系下，逃逸速度即 $v_{\odot 2}$

  在地球参考系下，该速度为 $v_{\odot 2}-v_e$

  也就是说，从地球上以 $v_3$ 发射，以双曲轨道离开地球，离地球无限远时相对地球速度为 $v_{\odot 2}-v_e$ ，此时相对太阳速度为 $v_{\odot 2}$ ，再以抛物轨道离开太阳。

作用范围

记 $q=\frac{m}{M}$

• 引力作用范围$$a_{1\text{引}}=a_{2\text{引}}$$$$r_1\approx \sqrt{q}A$$
• 引潮比作用范围$$\frac{|{\overrightarrow{a}}_{2\text{引}}|}{|{\overrightarrow{a}}_{1\text{潮}}|}=\frac{|{\overrightarrow{a}}_{1\text{引}}|}{|{\overrightarrow{a}}_{2\text{潮}}|}$$$${\overrightarrow{a}}_{1\text{潮}}=GM(\frac{\overrightarrow{R}}{R^3}+\frac{\overrightarrow{A}}{A^3})$$$${\overrightarrow{a}}_{2\text{潮}}=Gm(\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}-\frac{\overrightarrow{A}}{A^3})$$$$r_2\approx q^{2/5}A$$
• 希尔作用范围$$r_3\approx q^{1/3}A$$

N体问题

万有引力的场论表示

泊松方程

$${\mathrm{\nabla }}^{2}V=4\pi G\rho$$

星球的引力势函数

引力势展开

$$V(\overrightarrow{x})=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{R^{l+1}}\sum _{m=0}^l(C_l^m\cos m\varphi +S_l^m\sin m\varphi )P_{lm}(\cos \theta )$$$$\begin{array}{rl}{C}_l^0& =-G\int r^{\prime l}{P}_l(\cos {\theta }^{\prime }){\rho }^{\prime }({\overrightarrow{x}}^{\prime })r^{\prime 2}\sin {\theta }^{\prime }\mathrm{d}{r}^{\prime }\mathrm{d}{\theta }^{\prime }\mathrm{d}{\varphi }^{\prime }\\ S_l^0& =0\\ C_l^m& =-2G\frac{(l-m)!}{(l+m)!}\int r^{\prime l}{P}_{lm}(\cos {\theta }^{\prime })\cos m{\varphi }^{\prime }{\rho }^{\prime }({\overrightarrow{x}}^{\prime })r^{\prime 2}\sin {\theta }^{\prime }\mathrm{d}{r}^{\prime }\mathrm{d}{\theta }^{\prime }\mathrm{d}{\varphi }^{\prime }\\ S_l^m& =-2G\frac{(l-m)!}{(l+m)!}\int r^{\prime l}{P}_{lm}(\cos {\theta }^{\prime })\sin m{\varphi }^{\prime }{\rho }^{\prime }({\overrightarrow{x}}^{\prime })r^{\prime 2}\sin {\theta }^{\prime }\mathrm{d}{r}^{\prime }\mathrm{d}{\theta }^{\prime }\mathrm{d}{\varphi }^{\prime }\end{array}$$

球多极矩

• 球多极矩

$$I_{lm}\equiv \int r^{\prime l}{Y}_{lm}^{\ast }({\theta }^{\prime },{\varphi }^{\prime }){\rho }^{\prime }{\mathrm{d}}^3{x}^{\prime }$$

• 引力势展开

$$V(\overrightarrow{x})=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=-l}^l\frac{1}{R^{l+1}}(-G\frac{4\pi }{2l+1}{I}_{lm})Y_{lm}$$

运动方程

惯性系下

$${\ddot{\overrightarrow{r}}}_k=G\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ j\ne k\end{array}}^N\frac{m_j}{r_{kj}^3}{\overrightarrow{r}}_{kj}$$$$\begin{array}{rl}{\ddot{\overrightarrow{r}}}_k& ={\mathrm{\nabla }}_k\left[G\sum _{i=1}^N\sum _{j=1+i}^N\frac{m_j}{r_{ij}}\right]\\ & ={\mathrm{\nabla }}_k\left[\frac{1}{2}G\sum _{i=1}^N\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ j\ne i\end{array}}^N\frac{m_j}{r_{ij}}\right]\end{array}$$

定义力函数

$$U=G\sum _{i=1}^N\sum _{j=1+i}^N\frac{m_i{m}_j}{r_{ij}}=\frac{1}{2}G\sum _{i=1}^N\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ j\ne i\end{array}}^N\frac{m_i{m}_j}{r_{ij}}$$

各种坐标系

1. 相对运动非惯性坐标系： $({\overrightarrow{r}}_{k1},{\overrightarrow{r}}_{k2},...,{\overrightarrow{r}}_{k,k-1},{\overrightarrow{r}}_{k,k+1},...,{\overrightarrow{r}}_{kN},{\overrightarrow{r}}_k)$

   $${\ddot{\overrightarrow{r}}}_i-{\ddot{\overrightarrow{r}}}_k\equiv {\ddot{\overrightarrow{r}}}_{ki}=-G\frac{m_i+m_k}{r_{ki}^3}{\overrightarrow{r}}_{ki}+\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ j\ne i,k\end{array}}^{N}G{m}_j(\frac{{\overrightarrow{r}}_{ij}}{r_{ij}^3}-\frac{{\overrightarrow{r}}_{kj}}{r_{kj}^3})$$

   原点取在天体 $P_k$ 处

   $$\begin{array}{rl}{\ddot{\overrightarrow{r}}}_i& =-G\frac{m_i+m_k}{r_i^3}{\overrightarrow{r}}_i+{\mathrm{\nabla }}_i\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ j\ne i,k\end{array}}^{N}G{m}_j(\frac{1}{r_{ij}}-\frac{{\overrightarrow{r}}_i\cdot {\overrightarrow{r}}_j}{r_j^3})\\ & ={\mathrm{\nabla }}_i[G\frac{m_i+m_k}{r_i}+\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ j\ne i,k\end{array}}^{N}G{m}_j(\frac{1}{r_{ij}}-\frac{{\overrightarrow{r}}_i\cdot {\overrightarrow{r}}_j}{r_j^3})]\end{array}$$

2. 雅可比坐标系：

   $P_2$ 相对 $P_1$ 位置坐标 ${\overrightarrow{r}}_2^{\prime }$

   $P_3$ 相对 $P_1-P_2$ 质心位置坐标 ${\overrightarrow{r}}_3^{\prime }$

   $P_4$ 相对 $P_1-P_2-P_3$ 质心位置坐标 ${\overrightarrow{r}}_4^{\prime }$

   ...

   $({\overrightarrow{r}}_2^{\prime },{\overrightarrow{r}}_3^{\prime },...{\overrightarrow{r}}_N^{\prime },{\overrightarrow{r}}_C)$

   $${\overrightarrow{r}}_i^{\prime }={\overrightarrow{r}}_i-\frac{1}{{\eta }_i}\sum _{j=1}^{i-1}{m}_j{\overrightarrow{r}}_j,2\le i\le N$$$${\eta }_i=\sum _{j=1}^{\mathit{i}\mathbf{-}\mathbf{1}}{m}_j$$

   运动方程

   $${\ddot{r}}_i^{\prime }=\frac{1}{{\mu }_i}{\mathrm{\nabla }}_{i^{\prime }}U$$$${\mu }_i\equiv \frac{m_i{\eta }_i}{m_i+{\eta }_i}$$

   正则坐标及哈密顿量

   $${\overrightarrow{q}}_i={\overrightarrow{r}}_{i+1}^{\prime },i=1,...,N-1$$$${\overrightarrow{p}}_i={\mu }_{i+1}{\dot{\overrightarrow{r}}}_{i+1}^{\prime },i=1,...,N-1$$$$H=\sum _{i=1}^{N-1}\frac{1}{2{\mu }_i}{p}_i^2-U({\overrightarrow{q}}_i)$$

3. 作用量-角变量：角坐标为循环坐标，周期函数解

   可积哈密顿系统的解在相空间对应一系列环面，KAM环面

   不可积系统对应破碎的KAM环面

   完全可积二体问题，常用的作用量-角变量是 Delaunay 变量

4. 哈密顿-雅可比变量： $(P,Q)$ 使哈密顿量变为零

   旧正则变量 $(p,q)$ 哈密顿量 $H(p,q,t)$

   寻找哈密顿-雅可比变量，等价于求解生成函数 $\mathrm{\Psi }(q,P,t)$ 的哈密顿-雅可比方程

   $$\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}+H(q,\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q},t)=0$$

三体问题

特解

考虑三个天体相对旋转非惯性系静止的特解：

1. 排在一条直线上，绕质心旋转
2. 构成边长为 $a$ 的正三角形，绕质心以角速度 $n=\sqrt{\frac{G(m_0+m_1+m_2)}{a^3}}$ 旋转

• 中心构型：$$\sum _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne i\end{array}}^{N-1}\frac{m_j{\overrightarrow{a}}_{ij}}{a_{ij}^3}=-\lambda {\overrightarrow{a}}_i$$对于三体问题，上式有共线解和正三角形解。通过定义特殊矢量乘法，配以中心构型可以给出 $N$ 体问题的若干特解。

限制性三体问题

• 二体系统加测试天体问题称为限制性三体问题

• 在三体问题共线特解中分别取三个天体为测试天体可以给出第一、第二、第三拉格朗日点

  考虑正三角形解给出第四、第五拉格朗日点

• 限制性三体问题根据两个有限质量天体的相对运动轨道形状分为圆型、椭圆型和抛物型

圆型限制性三体问题

• 引入记号

  $$\mathrm{\Omega }\equiv \frac{1}{2}(x^2+y^2)+\frac{1-\mu }{r_1}+\frac{\mu }{r_2}$$

  运动方程

  $$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{\tau }^2}-2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\tau }=\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x}$$$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{\tau }^2}+2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\tau }=\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial y}$$$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}z}{\mathrm{d}{\tau }^2}=\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial z}$$

• 雅可比积分（旋转势能、引力势能和动能和）：

  $$a^2{n}^2{C}_J=n^2(x_0^2+y_0^2)+2G\frac{m_1}{r_{10}}+2G\frac{m_2}{r_{20}}-({\dot{x}}_0^2+{\dot{y}}_0^2+{\dot{z}}_0^2)$$

• 蒂塞郎准则：两次测定彗星相对太阳的位置和速度，根据雅可比积分判定是否为同一颗彗星

• 零速度面：

  $$x^2+y^2+\frac{2(1-\mu )}{\sqrt{(x-x_1{)}^2+y^2+z^2}}+\frac{2\mu }{\sqrt{(x-x_2{)}^2+y^2+z^2}}=C_J$$

• 希尔作用范围：天体到第一拉格朗日点构成球面

• 洛希势和洛希瓣：引力势+离心势

拉格朗日点的动力学稳定性

• 线性稳定性分析：

  动力学系统

  $$\frac{\mathrm{d}{y}_i}{\mathrm{d}t}=f_i(y_1,y_2,...,y_N),i=1,...,N$$

  取线性微扰 $y_i^o(t)+{\xi }_i(t)$

  $$\frac{\mathrm{d}{\xi }_i}{\mathrm{d}t}=\sum _{j=1}^N{\frac{\partial f_i}{\partial y_j}|}_{y=y^o}{\xi }_j$$

• 共线特解拉格朗日点 $L_1,L_2,L_3$ 不稳定

  记 Ruth 临界质量 ${\mu }_1=\frac{1}{18}(9-\sqrt{69})$ 当

  1. ${\mu }_1<\mu \le \frac{1}{2}$ 和 $\mu ={\mu }_1$ 时，$L_4,L_5$ 不稳定
  2. $\mu <{\mu }_1$ 时，$L_4,L_5$ 稳定

摄动理论

受摄二体问题

• 受摄二体问题

$$\ddot{\overrightarrow{r}}={\overrightarrow{F}}_0+{\overrightarrow{F}}_e=-G\frac{M+m}{r^3}\overrightarrow{r}+{\overrightarrow{F}}_e$$

• 吻切轨道

  受摄二体问题的解

  $$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(C_1(t),C_2(t),C_3(t),C_4(t),C_5(t),C_6(t);t)$$$$\dot{\overrightarrow{r}}=\dot{\overrightarrow{r}}(C_1(t),C_2(t),C_3(t),C_4(t),C_5(t),C_6(t);t)$$

  每个时刻 $t$ ，存在一个由 $C_1(t),C_2(t),C_3(t),C_4(t),C_5(t),C_6(t)$ 决定的二体问题轨道，该轨道与实际运动轨道互为吻切轨道。

摄动方程

• 摄动方程

  $$\sum _{j=1}^6\frac{\partial \dot{\overrightarrow{r}}}{\partial C_j}\frac{\mathrm{d}{C}_j}{\mathrm{d}t}={\overrightarrow{F}}_e$$

  构造守恒量 $\psi$: $\psi (C_1,C_2,C_3,C_4,C_5,C_6)=\psi (\overrightarrow{r},\dot{\overrightarrow{r}})$

  $$\sum _{j=1}^6\frac{\partial \psi }{\partial C_j}\frac{\mathrm{d}{C}_j}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial \psi }{\partial \dot{\overrightarrow{r}}}{\overrightarrow{F}}_e$$

• STW 型摄动方程：

  取六个轨道根数 $a,e,\iota ,\mathrm{\Omega },\omega ,M_0$ ，记 ${\overrightarrow{F}}_e$ 在 $(\hat{r},\hat{\theta },\hat{n})$ 方向的分量为 $S,T,W$

  1. 能量守恒
  $$\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}t}=\frac{2}{n\sqrt{1-e^2}}[e\sin fS+(1+e\cos f)T]$$
  2. 角动量守恒
  $$\frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t}=\frac{\sqrt{1-e^2}}{na}[\sin fS+(\cos f+\cos E)T]$$
  3. 角动量的 $x,y$ 分量
  $$\frac{\mathrm{d}\iota }{\mathrm{d}t}=\frac{r\cos (\omega +f)}{n{a}^2\sqrt{1-e^2}}W$$$$\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}{\mathrm{d}t}=\frac{r\sin (\omega +f)}{n{a}^2\sqrt{1-e^2}\sin \iota }W$$
  4. 拉普拉斯积分守恒量 $z$ 分量
  $$\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}=\frac{\sqrt{1-e^2}}{nae}[-S\cos f+T(1+\frac{r}{p})\sin f]-W\cos \iota \frac{r\sin (\omega +f)}{n{a}^2\sin \iota \sqrt{1-e^2}}$$
  5. 开普勒方程 $M=E-e\sin E$ 的时间导数
  $$\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}t}=n-\frac{1-e^2}{nae}[-S(\cos f-2e\frac{r}{p})+T\sin f(1+\frac{r}{p})]$$

• UNW 型摄动方程：

  把摄动力按速度切向 $(\hat{v})$ 、速度法向 $(\hat{w})$ 和轨道面法向展开

  $${\overrightarrow{F}}_e=U\hat{v}+N\hat{w}+W\hat{n}=S\hat{r}+T\hat{\theta }+W\hat{n}$$

  由 STW 型摄动方程有：

  $$\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}t}=\frac{2}{n\mathrm{\Gamma }}U$$$$\frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{\Gamma }}{na}[2U(e+\cos f)-N\beta \sin E]$$$$\frac{\mathrm{d}\iota }{\mathrm{d}t}=W\frac{\beta }{na}\frac{\cos (\omega +f)}{1+e\cos f}$$$$\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}{\mathrm{d}t}=W\frac{\beta }{na}\frac{\sin (\omega +f)}{1+e\cos f}\csc \iota$$$$\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{\Gamma }}{nae}[2U\sin f+N(e+\cos E)-\dot{\mathrm{\Omega }}\cos \iota ]$$$$\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}t}=n-\frac{\beta \mathrm{\Gamma }}{nae}[-2U(1+\frac{e^2}{1+e\cos f})\sin f+N(e-\cos E)]$$

  其中

  $$\beta \equiv \sqrt{1-e^2},\mathrm{\Gamma }\equiv \frac{\sqrt{1-e^2}}{\sqrt{1+2e\cos f+e^2}}$$

这两组摄动方程为高斯型摄动方程，下面考虑保守力型摄动方程（拉格朗日型摄动方程）

• 拉格朗日型摄动方程：

  记摄动力 ${\overrightarrow{F}}_e=\mathrm{\nabla }R$ ，STW 型摄动方程为：

  $$\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}t}=\frac{2}{na}\frac{\partial R}{\partial M}$$$$\frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}t}=\frac{1-e^2}{n{a}^{2}e}\frac{\partial R}{\partial M}-\frac{\sqrt{1-e^2}}{n{a}^{2}e}\frac{\partial R}{\partial \omega }$$$$\frac{\mathrm{d}\iota }{\mathrm{d}t}=\frac{1}{n{a}^2\sqrt{1-e^2}\sin \iota }(\cos \iota \frac{\partial R}{\partial \omega }-\frac{\partial R}{\partial \mathrm{\Omega }})$$$$\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{n{a}^2\sqrt{1-e^2}\sin \iota }\frac{\partial R}{\partial \iota }$$$$\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}=\frac{\sqrt{1-e^2}}{n{a}^{2}e}\frac{\partial R}{\partial e}-\cos \iota \frac{\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}{\mathrm{d}t}$$$$\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}t}=n-\frac{1-e^2}{n{a}^{2}e}\frac{\partial R}{\partial e}-\frac{2}{na}\frac{\partial R}{\partial a}$$