电动力学

电磁现象的普遍规律

• 电磁力 $F\propto r^{-2}$ 是麦克斯韦方程组的库伦解。电磁波 $\overrightarrow{E}={\overrightarrow{E}}_0{e}^{i(\omega t-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x})}$ 是其行波解。

1.1 电荷 & 电场

• Gauss 定理：

$$\oint \overrightarrow{E}\mathrm{d}\overrightarrow{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sum _i{Q}_i$$$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$$

• 静电场的旋度：

$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=0$$

1.2 电流 & 磁场

• 电荷守恒：

$${\oint }_S\mathit{J}\cdot \mathrm{d}\mathit{S}=-{\int }_V\frac{\partial \rho }{\partial t}\mathrm{d}V$$$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{J}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=0$$

• 毕奥-萨伐尔定律：

$$\mathit{B}(\mathit{x})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{\mathit{J}({\mathit{x}}^{\mathbf{\prime }})\times \mathit{r}}{r^3}\mathrm{d}{V}^{\prime }$$

• 安培环路定理：

$${\oint }_L\mathit{B}\cdot \mathrm{d}\mathit{l}={\mu }_0{\int }_S\mathit{J}\cdot \mathrm{d}\mathit{S}$$$$\mathrm{\nabla }\times \mathit{B}={\mu }_0\mathit{J}$$

• 磁场的散度：

$${\oint }_S\mathit{B}\cdot \mathrm{d}\mathit{S}=0$$$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{B}=0$$

1.3 Maxwell Equations

变化电磁场，新增规律：

1. 变化磁场激发电场（法拉第电磁感应定律）
2. 变化电场激发磁场（麦克斯韦位移电流 (displacement current) 假设）:

$${\mathit{J}}_D={\epsilon }_0\frac{\partial \mathit{E}}{\partial t}$$

• maxwell equations:

$$\mathrm{\nabla }\times \mathit{E}=-\frac{\partial \mathit{B}}{\partial t},$$$$\mathrm{\nabla }\times \mathit{B}={\mu }_0\mathit{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathit{E}}{\partial t},$$$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0},$$$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{B}=0.$$

1.4 介质的电磁性质

极化

• 介质电极化强度：

$$\mathit{P}=\frac{\sum {\mathit{p}}_i}{\mathrm{\Delta }V}$$

• 介质极化荷体密度：

$${\int }_V{\rho }_P\mathrm{d}V=-{\oint }_S\mathit{P}\cdot \mathrm{d}\mathit{S}$$$${\rho }_P=-\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{P}$$

• 极化电荷面密度

$${\sigma }_P=({\mathit{P}}_1-{\mathit{P}}_2)\cdot {\hat{e}}_{12}$$

• 电位移

$$\mathit{D}={\epsilon }_0\mathit{E}+\mathit{P}$$$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{D}={\rho }_f$$

电场和电位移

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{D}={\rho }_f$$$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{E}=\frac{{\rho }_f+{\rho }_P}{{\epsilon }_0}$$$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{P}=-{\rho }_P$$

• 极化率 ${\chi }_e$:

$$\mathit{P}={\chi }_e{\epsilon }_0\mathit{E}$$

• 介质电容率 $\epsilon$, 相对电容率 ${\epsilon }_r$:

$$\mathit{D}=\epsilon \mathit{E}$$$$\epsilon ={\epsilon }_r{\epsilon }_0,{\epsilon }_r=1+{\chi }_e$$

磁化

• 磁化强度

$$\mathit{M}=\frac{\sum {\mathit{m}}_i}{\mathrm{\Delta }V},\mathit{m}=i\mathit{a}.$$

• 磁化电流体密度

$${\int }_S{\mathit{J}}_M\cdot \mathrm{d}\mathit{S}={\oint }_L\mathit{M}\cdot \mathrm{d}\mathit{l}$$$${\mathit{J}}_M=\mathrm{\nabla }\times \mathit{M}$$

• 磁化电流面密度

$${\alpha }_M=({\mathit{M}}_1-{\mathit{M}}_2)\times {\hat{e}}_{12}$$

• 极化电流

$${\mathit{J}}_P=\frac{\partial \mathit{P}}{\partial t}$$

• 磁场强度

$$\mathit{H}=\frac{\mathit{B}}{{\mu }_0}-\mathit{M}$$$$\mathrm{\nabla }\times \mathit{H}={\mathit{J}}_f+\frac{\partial \mathit{D}}{\partial t}$$

• 磁化率 ${\chi }_M$

$$\mathit{M}={\chi }_M\mathit{H}$$

• 磁导率 $\mu$，相对磁导率 ${\mu }_r$

$$\mu ={\mu }_r{\mu }_0,{\mu }_r=1+{\chi }_M$$

介质中的麦克斯韦方程组

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }\times \mathit{E}& =-\frac{\partial \mathit{B}}{\partial t},\\ \mathrm{\nabla }\times \mathit{H}& =\mathit{J}+\frac{\partial \mathit{D}}{\partial t},\\ \mathrm{\nabla }\cdot \mathit{D}& =\rho ,\\ \mathrm{\nabla }\cdot \mathit{B}& =0.\end{array}$$$$\mathit{D}=\epsilon \mathit{E},$$$$\mathit{B}=\mu \mathit{H},$$$$\mathit{J}=\sigma \mathit{E}.$$

1.5 电磁场的边值关系

$$\begin{array}{l}\mathit{n}\times ({\mathit{E}}_2-{\mathit{E}}_1)=0,\\ \mathit{n}\times ({\mathit{H}}_2-{\mathit{H}}_1)=\mathit{\alpha },\\ \mathit{n}\cdot ({\mathit{D}}_2-{\mathit{D}}_1)=\sigma ,\\ \mathit{n}\cdot ({\mathit{B}}_2-{\mathit{B}}_1)=0.\end{array}$$

derivation

1.6 电磁场的能量和能流

• 能流密度（坡印亭 Poynting 矢量）

$$\mathit{S}=\mathit{E}\times \mathit{H}$$

• 能量密度变化率

$$\frac{\partial w}{\partial t}=\mathit{E}\cdot \frac{\partial \mathit{D}}{\partial t}+\mathit{H}\cdot \frac{\partial \mathit{B}}{\partial t}$$

• 能量密度
  • 真空
  $$w=\frac{1}{2}({\epsilon }_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2)$$
  • 介质
  $$\delta w=\mathit{E}\cdot \delta \mathit{D}+\mathit{H}\cdot \delta \mathit{B}$$

静电场

2.1 静电场的标势 & 微分方程

电标势

$$\mathit{E}=-\mathrm{\nabla }\phi$$

e.g.

单位正点电荷的电场

$$\mathit{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e}{r^2}{\hat{e}}_r$$

电势

$$\phi =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e}{r}$$

有

$$\mathit{E}=-\mathrm{\nabla }\phi =-\frac{\partial \phi }{\partial r}{\hat{e}}_r$$

• 泊松 Poisson 方程

$${\mathrm{\nabla }}^2\phi =-\frac{\rho }{\epsilon }$$

• 界面边值关系

$${\phi }_1={\phi }_2$$$${\epsilon }_2\frac{\partial {\phi }_2}{\partial n_{12}}-{\epsilon }_1\frac{\partial {\phi }_1}{\partial n_{12}}=-\sigma$$

(对于导体)

$$\epsilon \frac{\partial \phi }{\partial n}=-\sigma$$

2.2 唯一性定理

2.3 Laplace equation & 分离变量法

Laplace equation

$${\mathrm{\nabla }}^2\phi =0$$

通解

$$\begin{array}{rl}\phi (R,\theta ,\varphi )=& \sum _{n,m}(a_{nm}{R}^n+\frac{b_{nm}}{R^{n+1}})P_n^m(\cos \theta )\cos m\varphi \\ & +\sum _{n,m}(c_{nm}{R}^n+\frac{d_{nm}}{R^{n+1}})P_n^m(\cos \theta )\sin m\varphi \end{array}$$$$\phi (R,\theta )=\sum _n(a_n{R}^n+\frac{b_n}{R^{n+1}})P_n(\cos \theta )$$

其中勒让德多项式 Legendre polynomials

2.4 镜像法

2.5 Green Function

1. 点电荷密度的 $\delta$ 函数表示

2. Green function

   $${\mathrm{\nabla }}^{2}G(\mathit{x},{\mathit{x}}^{\prime })=-\frac{1}{{\epsilon }_0}\delta (\mathit{x}-{\mathit{x}}^{\prime })$$
   1. 无界自由空间$$G(\mathit{x},{\mathit{x}}^{\prime })=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{|\mathit{x}-{\mathit{x}}^{\prime }|}$$对于二维空间 $G\propto \ln (r)$
   2. 上半空间
   3. 球外空间

3. 第一类边值问题

   $$\phi (\mathit{x})={\int }_{V}G({\mathit{x}}^{\mathbf{\prime }},\mathit{x})\rho ({\mathit{x}}^{\prime })\mathrm{d}{V}^{\prime }-{\epsilon }_0{\oint }_S\phi ({\mathit{x}}^{\prime })\frac{\partial }{\partial n^{\prime }}G({\mathit{x}}^{\prime },\mathit{x})\mathrm{d}{S}^{\prime }$$

   第二类边值问题

   $$\phi (\mathit{x})={\int }_{V}G({\mathit{x}}^{\prime },\mathit{x})\rho ({\mathit{x}}^{\prime })\mathrm{d}{V}^{\prime }+{\epsilon }_0{\oint }_{S}G({\mathit{x}}^{\prime },\mathit{x})\frac{\partial \phi ({\mathit{x}}^{\prime })}{\partial n^{\prime }}\mathrm{d}{S}^{\prime }+⟨\phi {⟩}_S$$

2.6 Multiples

1. 电势的多极展开$$\phi (\mathit{x})={\int }_V\frac{\rho ({\mathit{x}}^{\prime })\mathrm{d}{V}^{\prime }}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$$
   • 单极矩$$Q={\int }_V\rho ({\mathit{x}}^{\prime })\mathrm{d}{V}^{\prime }$$
   • 偶极矩$$\mathit{p}={\int }_V\rho ({\mathit{x}}^{\prime }){\mathit{x}}^{\prime }\mathrm{d}{V}^{\prime }$$
   • 四极矩$${\mathcal{D}}_{ij}={\int }_{V}3x_i^{\prime }{x}_j^{\prime }\rho ({\mathit{x}}^{\prime })\mathrm{d}{V}^{\prime }$$
   $$\phi (\mathit{x})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}[\frac{Q}{R}-\mathit{p}\cdot \mathrm{\nabla }\frac{1}{R}+\frac{1}{6}\sum _{ij}{\mathcal{D}}_{ij}\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}\frac{1}{R}+\dots ]$$

静磁场

3.1 矢势 & 微分方程

• 矢势

$$\mathit{B}=\mathrm{\nabla }\times \mathit{A}$$

附加要求

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{A}=0$$

• 微分方程

$${\mathrm{\nabla }}^2\mathit{A}=-\mu \mathit{J}$$

特解

$$\mathit{A}(\mathit{x})=\frac{\mu }{4\pi }{\int }_V\frac{\mathit{J}({\mathit{x}}^{\prime })\mathrm{d}V}{r}$$$$\mathit{B}=\frac{\mu }{4\pi }{\int }_V\frac{\mathit{J}\times \mathit{r}}{r^3}\mathrm{d}{V}^{\prime }=\frac{\mu }{4\pi }{\oint }_L\frac{I\mathrm{d}\mathit{l}\times \mathit{r}}{r^3}$$

• 边界条件

$${\mathit{A}}_1={\mathit{A}}_2$$

• 静磁场能量

$$W=\frac{1}{2}\int \mathit{A}\cdot \mathit{J}\mathrm{d}V$$

3.2 磁标势

• 磁标势 ${\phi }_m$

$$\mathit{H}=-\mathrm{\nabla }{\phi }_m$$

3.3 磁多极矩

• 矢势的多极展开

  第一项 ${\mathit{A}}^{(0)}=0$ 不含磁单极项

  第二项

  $${\mathit{A}}^{(1)}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\mathit{m}\times \mathit{R}}{R^3}$$

  磁矩

  $$\begin{array}{rl}\mathit{m}& =\frac{I}{2}{\oint }_L{\mathit{x}}^{\prime }\times \mathrm{d}{\mathit{l}}^{\prime }\\ & =\frac{1}{2}{\int }_V{\mathit{x}}^{\prime }\times \mathit{J}({\mathit{x}}^{\prime })\mathrm{d}{V}^{\prime }\end{array}$$

• 磁偶极子磁场、磁标势

$${\mathit{B}}^{(1)}=-\frac{{\mu }_0}{4\pi }(\mathit{m}\cdot \mathrm{\nabla })\frac{\mathit{R}}{R^3}$$$${\phi }_m^{(1)}=\frac{\mathit{m}\cdot \mathit{R}}{4\pi R^3}$$

• 磁偶极子势能、受力、力矩

$$U=-\mathit{m}\cdot {\mathit{B}}_e$$$$\mathit{F}=\mathit{m}\cdot \mathrm{\nabla }{\mathit{B}}_e$$$$\mathit{L}=\mathit{m}\times {\mathit{B}}_e$$

电磁波的传播

4.1 平面电磁波

• 波动方程

$${\mathrm{\nabla }}^2\mathit{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\mathit{E}}{\partial t^2}=0$$$${\mathrm{\nabla }}^2\mathit{B}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\mathit{B}}{\partial t^2}=0$$

• 介质色散

$$\mathit{D}(\omega )=\epsilon (\omega )\mathit{E}(\omega )$$$$\mathit{B}(\omega )=\mu (\omega )\mathit{H}(\omega )$$

• 时谐电磁波 (单色波)

$$\mathit{E}(\mathit{x},t)=\mathit{E}(\mathit{x})e^{-i\omega t}$$$$\mathit{B}(\mathit{x},t)=\mathit{B}(\mathit{x})e^{-i\omega t}$$

满足亥姆霍兹 (Helmholtz) 方程

$${\mathrm{\nabla }}^2\mathit{E}+k^2\mathit{E}=0,k=\omega \sqrt{\mu \epsilon }$$$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{E}=0,$$$$\mathit{B}=-\frac{i}{\omega }\mathrm{\nabla }\times \mathit{E}$$

• 平面电磁波

$$\mathit{E}(\mathit{x},t)={\mathit{E}}_0{e}^{i(\mathit{k}\cdot \mathit{x}-\omega t)}$$

相速度

$$v=\frac{\omega }{k}=\frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon }}$$

磁场

$$\mathit{B}=\sqrt{\mu \epsilon }{\mathit{e}}_k\times \mathit{E}$$

• 能量密度和能流密度平均值

$$\bar{w}=\frac{1}{2}\epsilon E_0^2=\frac{1}{2\mu }{B}_0^2$$$$\bar{\mathit{S}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\epsilon }{\mu }}{E}_0^2{\mathit{e}}_k$$

4.2 电磁波的反射和折射

• 反射和折射定律
• 菲涅耳公式
• 全反射

4.3 有导体存在时电磁波的传播

1. 导体内自由电荷分布

   良导体 $\sigma \gg \epsilon \omega$

2. 导体内电磁波

   复电容率

   $${\epsilon }^{\prime }=\epsilon +i\frac{\sigma }{\omega }$$$$\mathit{E}(\mathit{x})={\mathit{E}}_0{e}^{i\mathit{k}\cdot \mathit{x}}$$$$\mathit{k}=\mathit{\beta }+i\mathit{\alpha },k=\omega \sqrt{\mu {\epsilon }^{\prime }}$$

3. 趋肤效应和穿透深度

   穿透深度

   $$\delta =\sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma }}$$

4. 导体表面上的反射

4.4 谐振腔

1. 有界空间中的电磁波

   波导是中空的金属管

2. 理想导体边界条件

$${\mathit{e}}_n\times \mathit{E}=0$$$${\mathit{e}}_n\times \mathit{H}=\mathit{\alpha }$$$${\mathit{e}}_n\cdot \mathit{D}=\sigma$$$${\mathit{e}}_n\cdot \mathit{B}=0$$

3. 谐振腔

   本征频率

$${\omega }_{mnp}=\frac{\pi }{\sqrt{\mu \epsilon }}\sqrt{{\left(\frac{m}{L_1}\right)}^2+{\left(\frac{n}{L_2}\right)}^2+{\left(\frac{p}{L_3}\right)}^2}$$

4.5 波导

1. 高频电磁能量的传输

2. 矩形波导中的电磁波

   $$k_x=\frac{m\pi }{a},k_y=\frac{n\pi }{b}(m,n=0,1,2,...)$$$$\mathit{H}=-\frac{i}{\omega \mu }\mathrm{\nabla }\times \mathit{E}$$

   横电波 (TE${}_{mn}$)

   横磁波 (TM${}_{mn}$)

3. 截止频率

$${\omega }_{c,mn}=\frac{\pi }{\sqrt{\mu \epsilon }}\sqrt{{\left(\frac{m}{a}\right)}^2+{\left(\frac{n}{b}\right)}^2}$$

4. TE${}_{10}$波的电磁场和管壁电流

4.7 等离子体

1. 等离子体的准电中性和屏蔽库伦场

   $$\phi (\mathit{x})=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}{e}^{-r/\lambda }$$$${\lambda }^2=\frac{kT{\epsilon }_0}{n_{e0}{e}^2}$$

2. 等离子体振荡

   等离子体频率（热平衡下）

   $${\omega }_p=\sqrt{\frac{n_0{e}^2}{m{\epsilon }_0}}$$

3. 电磁波在等离子体中的传播

   等离子体的折射率

   $$n=\sqrt{1-\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }^2}}$$

电磁波的辐射

5.1 电磁场的矢势和标势

1. 电磁场的场论描述

   $$\mathit{B}=\mathrm{\nabla }\times \mathit{A}$$$$\mathit{E}=-\mathrm{\nabla }\phi -\frac{\partial \mathit{A}}{\partial t}$$

2. 规范变换

   $$\mathit{A}\to {\mathit{A}}^{\prime }=\mathit{A}+\mathrm{\nabla }\psi$$$$\phi \to {\phi }^{\prime }=\phi -\frac{\partial \psi }{\partial t}$$

3. 库伦规范

   $$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{A}=0$$

   洛伦兹规范

   $$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi }{\partial t}=0$$

4. 达朗贝尔 (d'Alembert) 方程 (洛伦兹规范下)

   $${\mathrm{\nabla }}^2\mathit{A}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\mathit{A}}{\partial t^2}=-{\mu }_0\mathit{J}$$$${\mathrm{\nabla }}^2\phi -\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$$

5.2 推迟势

对于一般变化电荷分布 $\rho ({\mathit{x}}^{\prime },t)$ ，激发势

$$\phi (\mathit{x},t)={\int }_V\frac{\rho ({\mathit{x}}^{\prime },t-{\displaystyle \frac{r}{c}})}{4\pi {\epsilon }_{0}r}\mathrm{d}{V}^{\prime }$$$$\mathit{A}(\mathit{x},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_V\frac{\mathit{J}({\mathit{x}}^{\prime },t-{\displaystyle \frac{r}{c}})}{r}\mathrm{d}{V}^{\prime }$$

5.3 电偶极辐射

1. 辐射场一般公式

   $$\mathit{A}(\mathit{x})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\int }_V\frac{\mathit{J}({\mathit{x}}^{\prime })e^{ikr}}{r}\mathrm{d}{V}^{\prime }$$$$\mathit{B}=\mathrm{\nabla }\times \mathit{A}$$$$\mathit{E}=\frac{ic}{k}\mathrm{\nabla }\times \mathit{B}$$

2. 矢势展开

   $$\mathit{A}(\mathit{x})=\frac{{\mu }_0{e}^{ikR}}{4\pi R}{\int }_V\mathit{J}({\mathit{x}}^{\prime })(1-ik{\mathit{e}}_R\cdot {\mathit{x}}^{\prime }+\cdots )\mathrm{d}{V}^{\prime }$$

3. 电偶极辐射 (上式第一项)

   $$\mathit{B}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^{3}R}{e}^{ikR}\ddot{\mathit{p}}\times {\mathit{e}}_R$$$$\mathit{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^{2}R}{e}^{ikR}(\ddot{\mathit{p}}\times {\mathit{e}}_R)\times {\mathit{e}}_R$$

4. 平均能流密度

   $$\overline{S}=\frac{|\ddot{\mathit{p}}{|}^2}{32{\pi }^2{\epsilon }_0{c}^3{R}^2}{\sin }^2\theta {\mathit{e}}_R$$

   总辐射功率

   $$P=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{|\ddot{\mathit{p}}{|}^2}{3c^3}$$

5. 短天线辐射电阻

   $$\begin{array}{rl}{R}_r& =\frac{\pi }{6}\sqrt{\frac{{\mu }_0}{{\epsilon }_0}}{\left(\frac{l}{\lambda }\right)}^2(l\ll \lambda )\\ & =197{\left(\frac{l}{\lambda }\right)}^2\mathrm{\Omega }\end{array}$$

5.4 磁偶极辐射和电四极辐射

辐射场展开第二项

$$\mathit{A}(\mathit{x})=\frac{-ik{\mu }_0{e}^{ikR}}{4\pi R}{\int }_V\mathit{J}({\mathit{x}}^{\prime })({\mathit{e}}_R\cdot {\mathit{x}}^{\prime })\mathrm{d}{V}^{\prime }$$$$\mathit{A}(\mathit{x})=-\frac{ik{\mu }_0{e}^{ikR}}{4\pi R}(-{\mathit{e}}_R\times \mathit{m}+\frac{1}{6}{\mathit{e}}_R\cdot \dot{\mathcal{D}})$$

1. 磁偶极辐射

   $$\mathit{A}(\mathit{x})=\frac{ik{\mu }_0{e}^{ikR}}{4\pi R}{\mathit{e}}_R\times \mathit{m}$$$$\mathit{B}=\frac{{\mu }_0{e}^{ikR}}{4\pi c^{2}R}(\ddot{\mathit{m}}\times {\mathit{e}}_R)\times {\mathit{e}}_R$$$$\mathit{E}=-\frac{{\mu }_0{e}^{ikR}}{4\pi cR}(\ddot{\mathit{m}}\times {\mathit{e}}_R)$$$$\overline{S}=\frac{{\mu }_0{\omega }^4|\mathit{m}{|}^2}{32{\pi }^2{c}^3{R}^2}{\sin }^2\theta {\mathit{e}}_R$$$$P=\frac{{\mu }_0{\omega }^4|\mathit{m}{|}^2}{12\pi c^3}$$

2. 电四极辐射

   $$\mathit{A}(\mathit{x})=-\frac{ik{\mu }_0{e}^{ikR}}{24\pi R}{\mathit{e}}_R\cdot \dot{\mathcal{D}}$$$$\mathit{B}=\frac{e^{ikR}}{24\pi {\epsilon }_0{c}^{4}R}\stackrel{⃛}{\mathcal{D}}\times {\mathit{e}}_R$$$$\mathit{E}=\frac{e^{ikR}}{24\pi {\epsilon }_0{c}^{3}R}(\stackrel{⃛}{\mathcal{D}}\times {\mathit{e}}_R)\times {\mathit{e}}_R$$$$\overline{S}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{288\pi c^5{R}^2}(\stackrel{⃛}{\mathcal{D}}\times {\mathit{e}}_R{)}^2{\mathit{e}}_R$$

5.6 电磁波的衍射

1. 基尔霍夫公式

   $$\psi (\mathit{x})=-\frac{1}{4\pi }{\oint }_S\frac{e^{ikr}}{r}{\mathit{e}}_n\cdot [{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\psi +(ik-\frac{1}{r})\frac{\mathit{r}}{r}\psi ]\mathrm{d}{S}^{\prime }$$

2. 夫琅禾费衍射

   $$\psi (\mathit{x})=-\frac{ik{\psi }_0{e}^{ikR}}{4\pi R}{\int }_{S_0}{e}^{i({\mathit{k}}_1-{\mathit{k}}_2)\cdot {\mathit{x}}^{\prime }}(\cos {\theta }_1+\cos {\theta }_2)\mathrm{d}{S}^{\prime }$$

5.7 电磁场的动量

1. 动量密度

   $$\mathit{g}={\epsilon }_0\mathit{E}\times \mathit{B}$$

   动量流密度张量

   $$\mathcal{T}=-{\epsilon }_0\mathit{E}\mathit{E}-\frac{1}{{\mu }_0}\mathit{B}\mathit{B}+\frac{1}{2}\mathcal{I}({\epsilon }_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2)$$

   张量 $\mathcal{T}$ 的分量 $T_{ij}$ 的意义是通过垂直于 $i$ 轴的单位面积流过的动量 $j$ 分量。

   动量守恒

   $$\mathit{f}+\frac{\partial \mathit{g}}{\partial t}=-\mathrm{\nabla }\cdot \mathcal{T}$$

狭义相对论

6.2 洛伦兹变换

$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =\frac{x-vt}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}\\ y^{\prime }& =y\\ z^{\prime }& =z\\ t^{\prime }& =\frac{t-{\displaystyle \frac{v}{c^2}}x}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}\end{array}$$

6.3 相对论的时空理论

1. 钟慢效应

$$\mathrm{\Delta }t=\frac{\mathrm{\Delta }\tau }{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}$$

2. 尺缩效应

$$l=l_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

3. 速度变换式

$$u_x^{\prime }=\frac{u_x-v}{1-{\displaystyle \frac{v{u}_x}{c^2}}}$$$$u_y^{\prime }=\frac{u_y\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}{1-{\displaystyle \frac{v{u}_x}{c^2}}}$$$$u_z^{\prime }=\frac{u_z\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}{1-{\displaystyle \frac{v{u}_x}{c^2}}}$$

6.4 相对论理论的四维形式

1. 引入 $x_4=ict$ ，洛伦兹变换矩阵

$$x_{\mu }^{\prime }=a_{\mu \nu }{x}_{\nu }$$$$a=\left[\begin{array}{cccc}\gamma & 0& 0& i\beta \gamma \\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ -i\beta \gamma & 0& 0& \gamma \end{array}\right]$$$$\beta =\frac{v}{c},\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}$$

电动力学的相对论不变性

1. 电磁势

$$\begin{array}{rl}{A}_x^{\prime }& =\gamma (A_x-\frac{v}{c^2}\phi )\\ A_y^{\prime }& =A_y\\ A_z^{\prime }& =A_z\\ {\phi }^{\prime }& =\gamma (\phi -v{A}_x)\end{array}$$

2. 电磁场

$${\mathit{E}}_{\parallel }^{\prime }={\mathit{E}}_{\parallel },{\mathit{B}}_{\parallel }^{\prime }={\mathit{B}}_{\parallel }$$$${\mathit{E}}_{\perp }^{\prime }=\gamma (\mathit{E}+\mathit{v}\times \mathit{B}{)}_{\perp },{\mathit{B}}_{\perp }^{\prime }=\gamma (\mathit{B}-\frac{\mathit{v}}{c^2}\times \mathit{E}{)}_{\perp }$$

相对论力学

1. 能量-动量四维矢量

$$p_{\mu }=(\mathit{p},\frac{i}{c}W)$$$$W=\sqrt{p^2{c}^2+m_0^2{c}^4}$$

2. 质能关系

$$W=m{c}^2$$

4. 电磁场中运动方程

$$\frac{\mathrm{d}\mathit{p}}{\mathrm{d}t}=e(\mathit{E}+\mathit{v}\times \mathit{B})$$

带电粒子和电磁场的相互作用

辐射场 vs 库伦场

运动带电粒子的势 (Liénard-Wiechert)

$$\mathit{A}=\frac{q\mathit{v}}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2(r-{\displaystyle \frac{\mathit{v}}{c}}\cdot \mathit{r})}$$$$\phi =\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0(r-{\displaystyle \frac{\mathit{v}}{c}}\cdot \mathit{r})}$$

上式右边各量都是在 $t^{\prime }=t-\frac{r}{c}$ 时取值

进而有

$$\mathit{B}=\frac{q\mathit{v}\times \mathit{r}}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2{r}^3}+\frac{q\dot{\mathit{v}}\times \mathit{r}}{4\pi {\epsilon }_0{c}^3{r}^2}$$$$\mathit{E}=\frac{q\mathit{r}}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}+\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2{r}^3}\mathit{r}\times (\mathit{r}\times \dot{\mathit{v}})$$

第一项为库伦场 $\propto r^{-2}$

第二项为辐射场 $\propto r^{-1}$

频谱分析

傅里叶变换

• 轫致辐射：带电粒子和物质靶内原子中的电子和原子核碰撞减速辐射
• 同步辐射：带电粒子高速圆周运动，射束张角 $\mathrm{\Delta }\theta \sim 1/\gamma$

切连科夫辐射

带电粒子在介质中速度超过介质内光速，诱导电流激发次波干涉形成辐射，称为切连科夫辐射 (Cherenkov)

散射

• 自由电子散射电磁波：

  汤姆孙散射公式

  $$P=\oint \overline{S}{r}^2\mathrm{d}\mathrm{\Omega }=\frac{8\pi }{3}{r}_e^2{I}_0$$

  被散射的能量相当入射到 $\sigma$ 截面上能量，称为自由电子对电磁波的散射截面

  $$\sigma =\frac{P}{I_0}=\frac{8\pi }{3}{r}_e^2$$

  角分布（微分散射截面）

  $$\frac{\mathrm{d}\sigma }{\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}=\frac{r_e^2}{2}(1+{\cos }^2\theta )$$

  实际角分布如虚线，用量子电动力学可以解释

  

• 束缚电子的散射：

  设束缚电子的固有频率为 ${\omega }_0$ ，入射电磁波频率 $\omega$

  散射截面

  $$\sigma =\frac{8\pi }{3}{r}_e^2\frac{{\omega }^4}{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+{\omega }^2{\gamma }^2}$$

  (1) $\omega \ll {\omega }_0$:

  $$\sigma =\frac{8\pi }{3}{r}_e^2{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^4$$

  低频散射截面 $\propto {\omega }^4$ ，称为瑞利散射

  (2) $\omega \gg {\omega }_0$:

  $$\sigma =\frac{8\pi }{3}{r}_e^2$$

  过渡到自由电子散射

  (3) $\omega ={\omega }_0$:

  $$\sigma =\frac{8\pi }{3}{r}_e^2{\left(\frac{\omega }{\gamma }\right)}^2$$

  共振