理论力学

运动方程

最小作用量原理

对于一个系统，记其拉格朗日量为 $L (q_{1}, . . ., q_{s}, {\dot{q}}_{1}, . . . {\dot{q}}_{s}, t)$ 或 $L (q, \dot{q}, t)$

作用量 (action) $S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t$

最小作用量原理 (principle of least action) $δ S = 0$

可以推出拉格朗日方程

\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0

最小作用量原理推导拉格朗日方程

\begin{aligned} δ S & = \int_{t_{1}}^{t_{2}} δ L d t \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\frac{\partial L}{\partial q} δ q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} δ \dot{q}) d t \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\frac{\partial L}{\partial q} δ q d t + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} d (δ q)) \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial L}{\partial q} δ q d t + \underset{= 0}{\underset{⏟}{{[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} δ q]}_{t_{1}}^{t_{2}}}} - \int_{t_{1}}^{t_{2}} δ q d (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\frac{\partial L}{\partial q} δ q d t - δ q \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) d t) \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}})) δ q d t = 0 \end{aligned}

\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0

拉格朗日量的性质

$L \to c L$ $(c = const)$ 单位制
$L \to L + \frac{d}{d t} f (q, t)$ 规范变换

验证

显然满足方程 $\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0$
记 $\begin{aligned} S_{2} & = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L_{2} d t = S_{1} + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d}{d t} f (q, t) d t \\ = S_{1} + f |_{t_{1}}^{t_{2}} \end{aligned}$ $\begin{aligned} δ S_{2} & = δ S_{1} + δ f |_{t_{1}}^{t_{2}} \\ = δ S_{1} + \frac{\partial f}{\partial q} δ q |_{t_{1}}^{t_{2}} = δ S_{1} \end{aligned}$

拉格朗日量的形式

将拉格朗日方程 $\frac{\partial L}{\partial q} = \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ 与牛顿第二定律 $\vec{F} = \frac{d}{d t} \vec{p}$

可以发现：广义力 $\frac{\partial L}{\partial q}$ ，广义动量 $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$

系统的拉格朗日量 $L = T - U$ （其中 $T$ 为动能， $U$ 为势能）

猜测拉格朗日的形式

以一维自由落体运动为例，取 $z$ 轴正方向竖直向上，有

牛顿力学	拉格朗日力学
$F = \frac{d}{d t} p$	$\frac{\partial L}{\partial z} = \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{z}}$
力 $F = - m g$	$\frac{\partial L}{\partial z} = - m g \Rightarrow L = - m g z + C = - U + C$ $(C = const)$
动量 $p = m \dot{z}$	$\frac{\partial L}{\partial \dot{z}} = m \dot{z} \Rightarrow L = \frac{1}{2} m {\dot{z}}^{2} + C = T + C$ $(C = const)$

所以我们得到拉格朗日量为 $L = T - U$ （其中常数 $C$ 可以通过选取合适的零势能面去掉）

守恒律

能量守恒

当空间具有时间平移对称性 $\frac{\partial L}{\partial t} = 0$

则

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q} - L) = 0

能量 $E = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q} - L$ 守恒（勒让德变换）

推导能量守恒

由于 $\frac{\partial L}{\partial t} = 0$ ，记 $L (q, \dot{q})$

\begin{aligned} \frac{d L}{d t} & = \frac{\partial L}{\partial q} \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \ddot{q} \\ = \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \ddot{q} \\ = \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q}) \end{aligned}

动量守恒

当空间具有空间平移对称性 $\frac{\partial L}{\partial \vec{r}} = 0$

则

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) = 0

动量 $\vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ 守恒

推导动量守恒

由拉格朗日方程直接得到。

角动量守恒

当空间具有空间旋转对称性 (旋转 $δ φ \Rightarrow δ L = 0$ )

则

\frac{d}{d t} (\vec{r} \times \vec{p}) = 0

角动量 $\vec{r} \times \vec{p}$ 守恒

推导角动量守恒

从图中可见有

δ r = δ φ \times r

δ \dot{r} = δ φ \times \dot{r}

\begin{aligned} δ L & = \frac{\partial L}{\partial r} δ r + \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} δ \dot{r} \\ = \dot{p} \cdot δ r + p \cdot δ \dot{r} \\ = \dot{p} \cdot (δ φ \times r) + p \cdot (δ φ \times \dot{r}) \\ = δ φ \cdot (r \times \dot{p}) + δ φ \cdot (\dot{r} \times p) \\ = δ φ \cdot (r \times \dot{p} + \dot{r} \times p) \\ = δ φ \cdot \frac{d}{d t} (r \times p) \end{aligned}

δ L = 0 \Rightarrow \frac{d}{d t} (r \times p) = 0

参考系

质心 $\vec{R} = \frac{1}{M} \sum_{α} m_{α} {\vec{r}}_{α}$ $(M = \sum_{α} m_{α})$

质心系中系统动量 ${\vec{p}}^{'} = 0$

推导质心系中系统动量为零

\begin{aligned} {\vec{p}}^{'} & = \sum_{α} m_{α} ({\dot{\vec{r}}}_{α} - \dot{\vec{R}}) \\ = \sum_{α} m_{α} {\dot{\vec{r}}}_{α} - M \dot{\vec{R}} \\ = \sum_{α} m_{α} {\dot{\vec{r}}}_{α} - M \frac{1}{M} \sum_{α} m_{α} {\dot{\vec{r}}}_{α} \\ = 0 \end{aligned}

从参考系 $K$ 到参考系 $K^{'}$ 有关系

{\begin{cases} \vec{p} = {\vec{p}}^{'} + M \vec{V} \\ E = E^{'} + \vec{V} \cdot {\vec{p}}^{'} + \frac{1}{2} M V^{2} \\ \vec{J} = {\vec{J}}^{'} + M \vec{R} \times \vec{V} \end{cases}

特别地，当 $K^{'}$ 为质心参考系时

{\begin{cases} \vec{p} = M \vec{V} \\ E = E^{'} + \frac{1}{2} M V^{2} \\ \vec{J} = {\vec{J}}^{'} + \vec{R} \times \vec{p} \end{cases}

推导

我们记参考系 $K^{'}$ 相对参考系 $K$ 的运动速度为 $\vec{V}$ ，则

\vec{r} = {\vec{r}}^{'} + \vec{V} t

\Rightarrow \vec{v} = {\vec{v}}^{'} + \vec{V}

动量

\Rightarrow \vec{p} = {\vec{p}}^{'} + M \vec{V}

动能

\begin{aligned} E & = \frac{1}{2} \sum_{α} m_{α} {\vec{v}}_{α}^{2} \\ = \frac{1}{2} \sum_{α} m_{α} ({\vec{v}}_{α}^{'} + \vec{V})^{2} \\ = \frac{1}{2} \sum_{α} m_{α} {\vec{v}}_{α}^{' 2} + \sum_{α} m_{α} {\vec{v}}_{α}^{'} \vec{V} + \frac{1}{2} \sum_{α} m_{α} {\vec{V}}^{2} \\ = E^{'} + \vec{V} \cdot {\vec{p}}^{'} + \frac{1}{2} M {\vec{V}}^{2} \end{aligned}

角动量

\begin{aligned} \vec{J} & = \sum_{α} m_{α} {\vec{r}}_{α} \times {\vec{v}}_{α} \\ = \sum_{α} m_{α} {\vec{r}}_{α} \times ({\vec{v}}_{α}^{'} + \vec{V}) \\ = \sum_{α} m_{α} \vec{r} \times {\vec{v}}^{'} + \sum_{α} m_{α} {\vec{r}}_{α} \times \vec{V} \\ = {\vec{J}}^{'} + M \vec{R} \times \vec{V} \end{aligned}

相似性

对于一个系统， $T \propto v^{2}, U \propto r^{k}$

当系统的位矢 $\vec{r} \to a \vec{r}$ ，时间 $t \to b t$

可以由拉格朗日量性质得到： $b = a^{1 - k / 2}$

即

\frac{t^{'}}{t} = {(\frac{l^{'}}{l})}^{1 - k / 2}

推导

由于拉格朗日量可以放缩倍数而保持拉格朗日方程成立，当

q \to a q, t \to b t

\dot{q} = \frac{d q}{d t} \to \frac{a}{b} \dot{q}

拉格朗日量

L = T ({\dot{q}}^{2}) - U (q^{k}) \to {(\frac{a}{b})}^{2} T - a^{k} U

\Rightarrow {(\frac{a}{b})}^{2} = a^{k} \Rightarrow b = a^{1 - k / 2}

e.g.

k值	实例
$U \propto r^{- 1} \Rightarrow t^{'} / t = (l^{'} / l)^{3 / 2}$	开普勒第三定律
$U \propto r \Rightarrow t^{'} / t = (l^{'} / l)^{1 / 2}$	自由落体 $h = \frac{1}{2} g t^{2}$
$U \propto x^{2} \Rightarrow t^{'} / t = (l^{'} / l)^{0}$	弹簧振子周期独立于振幅

位力定理

记系统的动能 $T \propto v^{2}$ 势能 $U \propto r^{k}$

有 $2 ⟨ T ⟩ = k U$

其中按时间平均 $⟨ f ⟩ = lim_{τ \to \infty} \frac{1}{τ} \int_{0}^{τ} f d t$

推导位力定理

\begin{aligned} 2 T & = \sum_{α} {\vec{v}}_{α} \frac{\partial T}{\partial {\vec{v}}_{α}} \\ = \frac{d}{d t} (\sum_{α} {\vec{r}}_{α} \cdot {\vec{p}}_{α}) - \sum_{α} {\vec{r}}_{α} \cdot {\dot{\vec{p}}}_{α} \\ = \frac{d}{d t} (\sum_{α} {\vec{r}}_{α} \cdot {\vec{p}}_{α}) - \sum_{α} {\vec{r}}_{α} \cdot \frac{\partial L}{\partial {\vec{r}}_{α}} \\ = \frac{d}{d t} (\sum_{α} {\vec{r}}_{α} \cdot {\vec{p}}_{α}) + \sum_{α} {\vec{r}}_{α} \cdot \frac{\partial U}{\partial {\vec{r}}_{α}} \end{aligned}

上式对时间取平均，由于 $\sum_{α} {\vec{r}}_{α} \cdot {\vec{p}}_{α}$ 有界（当 $τ \to \infty$ ）

2 ⟨ T ⟩ = \underset{= 0}{\underset{⏟}{⟨ \frac{d}{d t} (\sum_{α} {\vec{r}}_{α} \cdot {\vec{p}}_{α}) ⟩}} + \sum_{α} {\vec{r}}_{α} \cdot \frac{\partial U}{\partial {\vec{r}}_{α}}

当 $U \propto r_{α}^{k}$ 有

2 ⟨ T ⟩ = k U

中心力场

一维运动

对于一维运动 $L = \frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2} - U (x)$

其轨迹（path） $t = \sqrt{\frac{m}{2}} \int \frac{d x}{\sqrt{E - U}}$

推导

记系统总能量为 $E$ ，有

\frac{1}{2} m {(\frac{d x}{d t})}^{2} + U = E

\Rightarrow d t = \sqrt{\frac{m}{2}} \frac{d x}{\sqrt{E - U}}

对于有界运动，有

T = \sqrt{2 m} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{d x}{\sqrt{E - U}}

U (x) = E \Rightarrow x_{1} (E), x_{2} (E)

约化质量

对于两体问题 $L = \frac{1}{2} m_{1} {| {\dot{\vec{r}}}_{1} |}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {| {\dot{\vec{r}}}_{2} |}^{2} - U (| {\vec{r}}_{1} - {\vec{r}}_{2} |)$

L = \frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} {| \dot{\vec{r}} |}^{2} - U (r)

约化质量（reduced mass） $m = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$

推导

在质心系中，记 $\vec{r} = {\vec{r}}_{1} - {\vec{r}}_{2}$ , $m_{1} {\vec{r}}_{1} + m_{2} {\vec{r}}_{2} = 0$ 有

{\vec{r}}_{1} = \frac{m_{2} \vec{r}}{m_{1} + m_{2}}, {\vec{r}}_{2} = \frac{- m_{1} \vec{r}}{m_{1} + m_{2}}

\begin{aligned} L & = \frac{1}{2} m_{1} {(\frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} | \dot{\vec{r}} |)}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {(\frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} | \dot{\vec{r}} |)}^{2} - U (r) \\ = \frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} {| \dot{\vec{r}} |}^{2} - U (r) \end{aligned}

example1

对于一个质量 $m_{s}$ 的恒星和 $n$ 个相同质量 $m_{p}$ 的行星 $(α = 1, . . ., n)$ ，求 $L ({\vec{R}}_{α}, {\dot{\vec{R}}}_{α})$

中心力场的运动

对于中心力场 $L = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{φ}}^{2}) - U (r)$

注：

上式中 $m = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ 为约化质量，位矢 $\vec{r} = (r, φ)$ 的坐标原点是中心天体中心，而非二者的质心。

角动量守恒 $M = m r^{2} \dot{φ} = c o n s t$

为什么角动量是

m r^{2} \dot{φ}

而非

m_{2} r^{2} \dot{φ}

如图天体1和天体2都有角动量，总角动量

\begin{aligned} M & = m_{1} r_{1} v_{1} + m_{2} r_{2} v_{2} \\ = m_{1} r_{1}^{2} \dot{φ} + m_{2} r_{2}^{2} \dot{φ} \\ = m_{1} {(\frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} r)}^{2} \dot{φ} + m_{2} {(\frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} r)}^{2} \dot{φ} \\ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} r^{2} \dot{φ} \end{aligned}

$E = \frac{1}{2} m {\dot{r}}^{2} + \frac{M^{2}}{2 m r^{2}} + U (r), E = c o n s t$
轨迹（path） $t = \int {(\frac{2}{m} (E - U) - \frac{M^{2}}{m^{2} r^{2}})}^{- 1 / 2} d r$
轨迹的形状（shape） $φ = \int \frac{M}{m r^{2}} {(\frac{2}{m} (E - U) - \frac{M^{2}}{m^{2} r^{2}})}^{- 1 / 2} d r$
有效势能 $U_{e f f} = U + \frac{M^{2}}{2 m r^{2}}$ ，离心能 $\frac{M^{2}}{2 m r^{2}}$
转折点 $\dot{r} = 0, \dot{φ} \neq 0 \Leftrightarrow E = U_{e f f}$
闭合轨道

Δ φ = 2 \int_{r_{m i n}}^{r_{m a x}} \frac{M}{r^{2}} {(2 m (E - U) - \frac{M^{2}}{r^{2}})}^{- 1 / 2} d r

如果轨道封闭，有

Δ φ = 2 π \frac{n_{1}}{n_{2}} (n_{1}, n_{2} \in Z)

Bertrand定理：仅当 $U \propto r^{- 1}$ 或 $U \propto r^{2}$ 时轨道闭合

example2 水星进动 precession

考虑相对论修正后，势能项 $U = - k / r + δ U$ 其中 $δ U = α / r^{3}$

求 $Δ φ$ 从 $r_{m i n}$ 到 $r_{m a x}$ 再回到 $r_{m i n}$ 的变化 $δ (Δ φ)$

开普勒问题

对于引力 $U = - \frac{k}{r} (k > 0)$

U_{e f f} = - \frac{k}{r} + \frac{M^{2}}{2 m r^{2}}

轨迹的形状

r (φ) = \frac{M^{2}}{m k} {(\sqrt{1 + \frac{2 E M^{2}}{m k^{2}}} \cos φ + 1)}^{- 1}

偏心率（eccentricity） $e = \sqrt{1 + \frac{2 E M^{2}}{m k^{2}}}$

半通径（lootus rectum） $p = \frac{M^{2}}{m k}$

有

r (φ) = \frac{p}{1 + e \cos φ}

推导

从轨迹的形状方程出发

φ = \int \frac{M}{m r^{2}} {[\frac{2 E}{m} + \frac{k^{2}}{M^{2}} - {(\frac{k}{M} - \frac{M}{m r})}^{2}]}^{- 1 / 2} d r

作三角换元 $\frac{k}{M} - \frac{M}{m r} = \sqrt{\frac{2 E}{m} + \frac{k^{2}}{M^{2}}} \cos θ$

\frac{M}{m r^{2}} d r = - \sqrt{\frac{2 E}{m} + \frac{k^{2}}{M^{2}}} \sin θ d θ

则

φ = \int - d θ = - θ + C

选择合适的初值条件使常数 $C = 0$

φ = - \arccos \frac{\frac{k}{M} - \frac{M}{m r}}{\sqrt{\frac{2 E}{m} + \frac{k^{2}}{M^{2}}}}

\Rightarrow r = \frac{M^{2}}{m k} {(\sqrt{1 + \frac{2 E M^{2}}{m k^{2}}} \cos φ + 1)}^{- 1}

椭圆

半长轴 $a = \frac{p}{1 - e^{2}} = - \frac{k}{2 E}$

半短轴 $b = \frac{p}{\sqrt{1 - e^{2}}} = \frac{M}{\sqrt{- 2 m E}}$

轨道能量，角动量

$E = - \frac{k}{2 a} = - \frac{G m_{1} m_{2}}{2 a}$

$M = m \sqrt{G (m_{1} + m_{2}) a (1 - e^{2})}$

周期 $T^{2} = 4 π^{2} \frac{m}{k} a^{3} = \frac{4 π^{2}}{G (m_{1} + m_{2})} a^{3}$

从 $φ_{1}$ 对 $φ_{2}$ 的时间间隔 $Δ t = \frac{2 m}{M} Δ A = \frac{2 m}{M} \int_{φ_{1}}^{φ_{2}} \frac{1}{2} {(\frac{p}{1 + e \cos θ})}^{2} d φ$

轨迹 $t (r) = \sqrt{\frac{m a^{3}}{k}} (θ - e \cos θ), r = a (1 - e \cos θ)$

双曲线

半长轴 $a = \frac{p}{e^{2} - 1} = \frac{k}{2 E}$

半短轴 $b = \frac{p}{\sqrt{e^{2} - 1}} = \frac{M}{\sqrt{2 m E}}$

轨迹 $t (r) = \sqrt{\frac{m a^{3}}{k}} (e \sinh ξ - ξ), r = a (e \cosh ξ - 1)$

抛物线

轨迹 $t (r) = \sqrt{\frac{m p^{3}}{k}} \frac{1}{2} η (1 + \frac{1}{3} η^{3}), \sqrt{2 r - p} = η \sqrt{p}$

比内公式

之前通过运动积分推导出开普勒问题的轨迹形状，现在用拉格朗日运动方程导出：

拉格朗日量 $L = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{φ}}^{2}) - U (r)$

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}) = \frac{\partial L}{\partial r} \Leftrightarrow m (\ddot{r} - r {\dot{φ}}^{2}) = - \frac{d U}{d r} = - \frac{k}{r^{2}}

该方程为非线性方程，做变换 $w = \frac{1}{r}$ ，有

\frac{d^{2} w}{d φ^{2}} + w = \frac{m k}{M^{2}}

推导

令 $w = 1 / r$ ， $r = 1 / w$ ， $w = w (φ)$

\dot{r} = \frac{d r}{d w} \frac{d w}{d φ} \dot{φ} = - \frac{1}{w^{2}} \frac{d w}{d φ} \dot{φ} = - r^{2} \dot{φ} \frac{d w}{d φ}

由于 $M = m r^{2} \dot{φ}$ ，有 $\dot{r} = - \frac{M}{m} \frac{d w}{d φ}$

\begin{aligned} \ddot{r} & = - \frac{M}{m} \frac{d}{d t} (\frac{d w}{d φ}) = - \frac{M}{m} \frac{d^{2} w}{d φ^{2}} \dot{φ} \\ = - \frac{M}{m} \frac{d^{2} w}{d φ^{2}} \frac{M}{m r^{2}} = - \frac{M^{2}}{m^{2} r^{2}} \frac{d^{2} w}{d φ^{2}} \\ = - \frac{M^{2}}{m^{2}} w^{2} \frac{d^{2} w}{d φ^{2}} \end{aligned}

r {\dot{φ}}^{2} = \frac{r^{4} {\dot{φ}}^{2}}{r^{3}} = \frac{M^{2}}{m^{2}} w^{3}

\frac{d U}{d r} = \frac{d U}{d w} \frac{d w}{d r} = - w^{2} \frac{d U}{d w}

其中 $U = - k / r = - k w$ $\Rightarrow \frac{d U}{d w} = - k$

\frac{d U}{d r} = k w^{2}

所以原方程

m (\ddot{r} - r {\dot{φ}}^{2}) = - \frac{d U}{d r}

\Rightarrow - \frac{M^{2}}{m} w^{2} \frac{d^{2} w}{d φ^{2}} - \frac{M^{2}}{m} w^{3} = - k w^{2}

\Rightarrow \frac{d^{2} w}{d φ^{2}} + w = \frac{m k}{M^{2}}

现在方程为线性常微分方程，称为比内 (Binet) 公式。

可解出 $w = C \cos (φ + φ_{0}) + \frac{m k}{M^{2}}$ 即

r = \frac{\frac{M^{2}}{m k}}{1 + \sqrt{1 + \frac{2 E M^{2}}{m k^{2}}} \cos (φ + φ_{0})}

第三个守恒量

拉普拉斯-楞次-龙格守恒量（Laplace-Lentz-Runge） $\vec{B} = \vec{v} \times \vec{M} - \frac{k \vec{r}}{r}$

推导

由角动量守恒 $\frac{d \vec{M}}{d t} = 0$

\begin{aligned} \frac{d}{d t} (\vec{v} \times \vec{M}) & = \frac{d \vec{v}}{d t} \times \vec{M} + \vec{v} \times \frac{d \vec{M}}{d t} \\ = \frac{d \vec{v}}{d t} \times \vec{M} \\ = - \frac{1}{m} \frac{d U}{d \vec{r}} \times \vec{M} \\ = - \frac{1}{m} \frac{d U}{d r} {\hat{e}}_{r} \times \vec{M} \\ = - \frac{1}{m} \frac{d U}{d r} {\hat{e}}_{r} \times (\vec{r} \times \vec{p}) \\ = - \frac{1}{m} \frac{d U}{d r} (({\hat{e}}_{r} \cdot \vec{p}) \vec{r} - ({\hat{e}}_{r} \cdot \vec{r}) \vec{p}) \\ = - \frac{d U}{d r} (v_{r} \vec{r} - r \vec{v}) \\ = - \frac{d U}{d r} (\frac{d r}{d t} \vec{r} - r \frac{d \vec{r}}{d t}) \end{aligned}

我们有

\begin{aligned} \frac{d}{d t} (\frac{\vec{r}}{r}) & = \frac{d \vec{r}}{d t} \frac{1}{r} + \vec{r} (- \frac{1}{r^{2}}) \frac{d r}{d t} \\ = - \frac{1}{r^{2}} (\frac{d r}{d t} \vec{r} - r \frac{d \vec{r}}{d t}) \end{aligned}

\frac{d}{d t} (\vec{v} \times \vec{M}) = - \frac{d U}{d r} (- r^{2}) \frac{d}{d t} (\frac{\vec{r}}{r})

当 $U = - k / r$ 时，有 $\frac{d}{d t} (\vec{v} \times \vec{M}) = k \frac{d}{d t} (\frac{\vec{r}}{r})$ 即

\frac{d}{d t} (\vec{v} \times \vec{M} - k \frac{\vec{r}}{r}) = 0

$\vec{B}$ 位于轨道平面，在近日点算得 $\vec{B} = k e {\hat{e}}_{r}$ ， $\vec{B}$ 是和偏心率有关的守恒量。

圆轨道的稳定性

能量法（有效势能 $U_{e f f}$ ）
微扰法

有心立场的运动方程

{\begin{cases} m (\ddot{r} - r {\dot{φ}}^{2}) = - \frac{d U}{d r} = - \frac{k}{r^{2}} \\ m r^{2} \dot{φ} = M \end{cases}

对于圆轨道 $r = r_{0}, \dot{φ} = {\dot{φ}}_{0}$ 有

{\begin{cases} - m r_{0} {\dot{φ}}_{0}^{2} = - \frac{k}{r_{0}^{2}} \\ m r_{0}^{2} {\dot{φ}}_{0} = M \end{cases}

取微扰 $r = r_{0} + δ r (| δ r | ≪ r_{0}), \dot{φ} = {\dot{φ}}_{0} + δ \dot{φ} (| δ \dot{φ} | ≪ {\dot{φ}}_{0})$

代回上面方程可得：

δ \ddot{r} + (3 {\dot{φ}}_{0}^{2} - \frac{2 k}{m r_{0}^{3}}) δ r = 0

具体计算过程

将 $- \frac{k}{r^{2}}$ 项泰勒展开

{\begin{cases} m (δ \ddot{r} - (r_{0} + δ r) ({\dot{φ}}_{0} + δ \dot{φ})^{2}) = - \frac{k}{r_{0}^{2}} + \frac{2 k}{r_{0}^{3}} δ r + O (δ r) \\ m (r_{0} + δ r)^{2} ({\dot{φ}}_{0} + δ \dot{φ}) = M \end{cases}

忽略二阶小量，并把圆轨道满足关系式代入

{\begin{array}{lr} m δ \ddot{r} - m r_{0} 2 {\dot{φ}}_{0} δ \dot{φ} - m δ r {\dot{φ}}_{0}^{2} = \frac{2 k}{r_{0}^{3}} δ r & (1) \\ m r_{0}^{2} δ \dot{φ} + m 2 r_{0} δ r {\dot{φ}}_{0} = 0 & (2) \end{array}

由 $(2)$ 式有

δ \dot{φ} = - \frac{2 δ r {\dot{φ}}_{0}}{r_{0}}

再代回 $(1)$ 式即可。

由于 $3 {\dot{φ}}_{0}^{2} - \frac{2 k}{m r_{0}^{3}} = \frac{k}{m r_{0}^{3}} > 0$ 故圆轨道稳定。

扰动频率(kepler frequency) $ω = \sqrt{\frac{k}{m r_{0}^{3}}}$

潮汐 tidal

phase lag & tidal force

tidal phase lag: $α$ (the tidal friction in primary)
tidal force: $f ≃ \frac{G M_{2} R_{1}}{a^{3}}$ (difference of gravitational forces)
Roche limit: $a ≃ {(\frac{M_{2}}{M_{1}})}^{1 / 3} R_{1}$
Hill radius: $R_{1} ≃ {(\frac{M_{1}}{M_{2}})}^{1 / 3} a$

tidal evolution

total energy: $E = E_{0} + E_{1} + E_{2} = - \frac{G M_{1} M_{2}}{2 a} + \frac{1}{2} I_{1} Ω_{1}^{2} + \frac{1}{2} I_{2} Ω_{2}^{2}$
total angular momentum: $h = h_{0} + h_{1} + h_{2} = μ \sqrt{G M a (1 - e^{2})} {\hat{Ω}}_{0} + I_{1} {\vec{Ω}}_{1} + I_{2} {\vec{Ω}}_{2}$

μ = \frac{M_{1} M_{2}}{M_{1} + M_{2}}, M = M_{1} + M_{2}

tidal evolution: h conserves but E reduce.
final state: E minimum

\Rightarrow e = 0, i = 0, Ω_{0} = Ω_{1} = Ω_{2}

e.g. pluto-charon

Earth-Moon

tidal evolution equation:

{\begin{cases} {\dot{h}}_{0} = Γ, {\dot{h}}_{1} = - Γ, \\ {\dot{E}}_{0} = Ω_{0} Γ, {\dot{E}}_{1} = - Ω_{1} Γ \end{cases}

for Earth-Moon:

\begin{array}{l} M_{1} ≃ 6 \times 10^{27} g, M_{2} ≃ 7.4 \times 10^{25} g, a = 3.8 \times 10^{10} c m \\ Ω_{0} = (G M / a^{3})^{1 / 2} ≃ 2.7 \times 10^{- 6} s^{- 1}, e ≃ 0, Ω_{1} ≃ 7.3 \times 10^{- 5} s^{- 1} \\ \dot{a} = 3.8 c m / y r \Rightarrow \end{array}

\begin{array}{l} {\dot{E}}_{0} = - \frac{\dot{a}}{a} E_{0} = \frac{G M_{1} M_{2} \dot{a}}{2 a} ≃ 1.2 \times 10^{18} e r g / s \\ Γ = \frac{{\dot{E}}_{0}}{Ω_{0}} ≃ 4.5 \times 10^{23} e r g \\ {\dot{E}}_{1} = - Ω_{1} Γ ≃ - 3.2 \times 10^{19} e r g / s \\ {\dot{E}}_{0} + {\dot{E}}_{1} ≃ - 3 \times 10^{19} e r g / s \end{array}

equilibrium tide

let $ξ$ be the equilibrium tide.

hydrostotic balance $p_{1} ≃ ρ Ψ$
$p_{1} ≃ ρ g ξ \Rightarrow ξ ≃ Ψ / g$
$Ψ ≃ \frac{G M_{2} R_{1}^{2}}{a^{3}}, g ≃ \frac{G M_{1}}{R_{1}^{2}}$

so we have

ξ ≃ \frac{M_{2}}{M_{1}} \frac{R_{1}^{4}}{a^{3}} or ξ / R_{1} ≃ \frac{M_{2}}{M_{1}} \frac{R_{1}^{3}}{a^{3}}

e.g.

for a Sun-like star and a Jupiter-like planet, $a = 0.04 A U ≃ 10 R_{⊙} ≃ 10^{2} R_{J}$

on star $ξ / R_{1} ≃ 10^{- 6}$

on planet $ξ / R_{1} ≃ 10^{- 3}$

tidal friction

stored energy in tidal deformation

E_{t} = M_{1} f ξ ≃ \frac{G M_{1} M_{2} R_{1}}{a^{3}} (\frac{M_{2}}{M_{1}}) (\frac{R_{1}^{4}}{a^{3}}) ≃ \frac{G M_{2}^{2} R_{1}^{5}}{a^{6}}

tidal dissipation rate

D = | {\dot{E}}_{0} + {\dot{E}}_{1} | = ω E_{t} / Q ≃ \frac{G M_{2}^{2} R_{1}^{5}}{a^{6}} ω \frac{1}{Q}

here $ω = | Ω_{0} - Ω_{1} |$ is called tidal frequency, and $Q$ is called tidal quality factor.

tidal torque

Γ = M_{1} f ξ \sin α ≃ \frac{G M_{2}^{2} R_{1}^{5}}{a^{6}} \frac{1}{Q}

Given $Q$ , we can calculate orbital evolution

ref Goldreich and Soter 1966 Icarus 5:375

Earth $Q ≃ 12$ , Jupiter $Q ≃ 10^{5}$

now we calculate the tidal dissipation rate directly from primary star.

\begin{aligned} D & = μ {(\frac{U}{R_{1}})}^{2} V_{1} = ρ_{1} ν {(\frac{ξ ω}{R_{1}})}^{2} V_{1} \\ = ν \frac{M_{2}^{2}}{M_{1}} {(\frac{R_{1}}{a})}^{6} ω^{2} \end{aligned}

so we have

Q = ω E_{t} / D = \frac{1}{ν ω} \frac{G M_{1}}{R_{1}} = τ_{ν} ω_{d}^{2} ω^{- 1}

here $ω_{d} = (G M_{1} / R_{1}^{3})^{1 / 2}$ is called dynamical frequency, and $τ_{ν} = R_{1}^{2} / ν$

\frac{1}{Q} = τ ω

tidal lag time: $τ = τ_{ν}^{- 1} ω_{d}^{- 2}$ only depends on internal structure of primary star.

finally,

1 / Q ≃ α ≃ τ ω

微振动

一维自由振动

对于一个质量为 $m$ ，弹簧弹性系数为 $k$ 的弹簧振子，由拉格朗日方程有

\ddot{x} + ω^{2} x = 0

本征频率 $ω = \sqrt{k / m}$

x = a \cos (ω t + α)

振幅(amplitude) $a$
相位(phase) $ω t + α$
初相位 $α$
简谐振动(harmonic oscillation)
能量 $E = \frac{1}{2} m a^{2} ω^{2}$

x = a \cos (ω t + α) = Re (A e^{i ω t})

复振幅(complex amplitude) $A = a e^{i α}$

受迫振动

受外力 $F (t)$ 的弹簧振子，由拉格朗日方程有

\ddot{x} + ω^{2} x = \frac{F (t)}{m}

周期外力

当 $F (t) = f \cos (γ t + β)$ 时

x = a \cos (ω t + α) + \frac{f}{m (ω^{2} - γ^{2})} \cos (γ t + β)

求解

对于非齐次方程，其解的结构为对应齐次方程的解加上一个特解，假定 $x = x_{0} + x_{1}$ ，其中 $x_{0}$ 为自由振动解

x_{0} = a \cos (ω t + α)

假定特解 $x_{1} = b \cos (γ t + β)$ 代入方程有

- γ^{2} b \cos (γ t + β) + ω^{2} b \cos (γ t + β) = \frac{f \cos (γ t + β)}{m}

\Rightarrow b = \frac{f}{m (ω^{2} - γ^{2})}

共振(resonance)

当 $γ = ω$ 时，有

x = a^{'} \cos (ω t + α) + \frac{f}{2 m ω} t \sin (ω t + β)

求解

假定通解为

x = a^{'} \cos (ω t + α) + \frac{f}{m (ω^{2} - γ^{2})} [\cos (γ t + β) - \cos (ω t + β)]

其中第二项

\begin{aligned} lim_{γ \to ω} \frac{f}{m (ω^{2} - γ^{2})} [\cos (γ t + β) - \cos (ω t + β)] \\ = & lim_{γ \to ω} \frac{f}{m (ω^{2} - γ^{2})} [- \sin (ω t + β) (γ - ω) t] \\ = & \frac{f}{m (- 2 ω)} [- \sin (ω t + β) t] \\ = & \frac{f t}{2 m ω} \sin (ω t + β) \end{aligned}

共振时，振幅随时间线性增长，直到小扰动条件失效，引入非线性项。

共振附近

当 $γ \approx ω$ 时，记 $γ = ω + ε$ 有

x = (A + B e^{i ε t}) e^{i ω t}

求解

记 $γ = ω + ε$

\begin{aligned} x & = a \cos (ω t + α) + \frac{f}{m (ω^{2} - γ^{2})} \cos (γ t + β) \\ = Re (A e^{i ω t}) + Re (B e^{i γ t}) \\ = A e^{i ω t} + B e^{i γ t} \end{aligned}

A = a e^{i α}, B = b e^{i β}, b = \frac{f}{m (ω^{2} - γ^{2})}

\begin{aligned} x & = A e^{i ω t} + B e^{i (ω + ε) t} \\ = (A + B e^{i ε t}) e^{i ω t} \end{aligned}

一般情况

对任意的 $F (t)$ 记

ξ = (\int_{0}^{t} \frac{F (s)}{m} e^{- i ω s} d s + A_{0}) e^{i ω t}

x = \frac{Im (ξ)}{ω}

求解

将方程降阶

\ddot{x} + ω^{2} x = \frac{F (t)}{m}

\Leftrightarrow \frac{d}{d t} (\dot{x} + i ω x) - i ω (\dot{x} + i ω x) = \frac{F}{m}

令 $ξ = \dot{x} + i ω x$

\frac{d ξ}{d t} - i ω ξ = \frac{F}{m}

使用常数变易法，假定 $ξ = A (t) e^{i ω t}$ 代入方程有

\frac{d A}{d t} = \frac{F}{m} e^{- i ω t}

\Rightarrow A = \int_{0}^{t} \frac{F (s)}{m} e^{- i ω s} d s + A_{0}

故

ξ = (\int_{0}^{t} \frac{F (s)}{m} e^{- i ω s} d s + A_{0}) e^{i ω t}

其中常数 $A_{0}$ 由初值条件确定，原方程的解

x = \frac{Im (ξ)}{ω}

阻尼振动

阻力 $- α \dot{x}$ $(α > 0)$ ，由拉格朗日方程有

\ddot{x} + 2 μ \dot{x} + ω^{2} x = 0

阻尼频率 $μ = \frac{α}{2 m}$

阻尼大 $μ > ω$

x = c_{1} e^{λ_{1} t} + c_{2} e^{λ_{2} t}

λ_{1, 2} = - μ \pm \sqrt{μ^{2} - ω^{2}}

阻尼小 $μ < ω$

x = C e^{- μ t} \cos (\sqrt{ω^{2} - μ^{2}} t + φ)

临界阻尼 $μ = ω$

x = (c_{1} + c_{2} t) e^{- μ t}

受迫阻尼振动

受外力 $F (t)$ 和阻尼的弹簧振子，由拉格朗日方程有

\ddot{x} + 2 μ \dot{x} + ω^{2} x = \frac{F}{m}

当 $F = f \cos (γ t + β)$ 时其解为

x = C e^{- μ t} \cos (\sqrt{ω^{2} - μ^{2}} t + φ) + b \cos (γ t + β + δ)

其中

b = \frac{f / m}{\sqrt{(ω^{2} - γ^{2})^{2} + 4 μ^{2} γ^{2}}}

求解

同前面受迫振动，通过齐次方程解加特解得到。

猜测特解的形式与外力保持一致，代入方程求出振幅即可。

当 $γ = \sqrt{ω^{2} - 2 μ^{2}}$ 时， $b_{m a x} = \frac{f / m}{2 μ \sqrt{ω^{2} - μ^{2}}}$
当 $γ = ω$ 时， $b = \frac{f / m}{2 μ γ} \neq + \infty$
当 $γ \approx ω$ 时，记 $γ = ω + ε (ε ≪ ω)$ ， $b = \frac{f / m}{2 ω \sqrt{μ^{2} + ε^{2}}}$

快速变化力场中的运动

质点在势场 $U (x)$ 中做平缓运动，受到一个变化快的外力 $F (x, t)$

当外力 $F (x, t) = f (x) \cos (γ t)$ ，由拉格朗日方程有

m \ddot{x} = - \frac{d U}{d x} + f (x) \cos (γ t)

把质点的运动分解为平缓项和快速项 $x (t) = X (t) + ξ (t)$

解得

ξ = - \frac{f (x)}{m γ^{2}} \cos γ t

m \ddot{X} = - \frac{d U_{e f f}}{d X}

其中 $U_{e f f} = U + ⟨ \frac{1}{2} m {\dot{ξ}}^{2} ⟩$

求解

将运动分解为平缓项和快速项 $x = X + ξ$

势能

U (x) = U (X + ξ) \Rightarrow \frac{d U}{d x} = \frac{d U}{d X} + (\frac{d^{2} U}{d X^{2}}) ξ

外力

F (x, t) = F (X + ξ, t) = F (X, t) + \frac{\partial F}{\partial X} ξ

原方程拆解为

{\begin{array}{lr} m \ddot{ξ} = F (X, t) & (1) \\ m \ddot{X} = - \frac{d U}{d X} - ξ \frac{d^{2} U}{d X^{2}} + ξ \frac{\partial F}{\partial X} & (2) \end{array}

方程 $(1)$ 的解为

ξ = - \frac{f (x)}{m γ^{2}} \cos γ t

记取平均操作 $⟨ y ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} y d t (T = \frac{2 π}{γ})$

⟨ ξ \frac{d^{2} U}{d X^{2}} ⟩ = ⟨ ξ ⟩ \frac{d^{2} U}{d X^{2}} = 0

⟨ ξ \frac{\partial F}{\partial X} ⟩ = ⟨ - \frac{f}{m γ^{2}} \cos γ t \frac{d f}{d X} \cos γ t ⟩ = - \frac{1}{2} \frac{1}{m γ^{2}} f \frac{d f}{d X}

对方程 $(2)$ 取时间平均

\begin{aligned} m \ddot{X} & = - \frac{d U}{d X} - \frac{1}{2 m γ^{2}} f \frac{d f}{d X} \\ = - \frac{d}{d X} (U + \frac{1}{4 m γ^{2}} f^{2}) \end{aligned}

由于

\begin{aligned} ⟨ {\dot{ξ}}^{2} ⟩ & = ⟨ {(- \frac{f}{m γ^{2}} (- \sin γ t) γ)}^{2} ⟩ \\ = ⟨ \frac{f^{2}}{m^{2} γ^{2}} \sin^{2} γ t ⟩ \\ = \frac{f^{2}}{2 m^{2} γ^{2}} \end{aligned}

有

m \ddot{X} = - \frac{d}{d X} (U + ⟨ \frac{1}{2} m {\dot{ξ}}^{2} ⟩)

刚体运动

基本概念

运动速度分解：质心平动+相对质心转动

\vec{v} = \vec{V} + \vec{Ω} \times \vec{r}

角动量和转动惯量

角动量 $\vec{M} = \int \vec{r} \times (ρ d V \cdot \vec{v}) = [I] \vec{Ω}$
转动惯量 $[I] = I_{i j} = \int ρ (r^{2} δ_{i j} - x_{i} x_{j}) d V = \int ρ [\begin{array}{ccc} y^{2} + z^{2} & - x y & - x z \\ - x y & x^{2} + z^{2} & - y z \\ - x z & - y z & x^{2} + y^{2} \end{array}] d V$

转动惯量推导

\begin{aligned} \vec{M} & = \int \vec{r} \times (ρ d V \vec{v}) \\ = \int ρ \vec{r} \times (\vec{Ω} \times \vec{r}) d V \\ = \int ρ (r^{2} \vec{Ω} - (\vec{r} \cdot \vec{Ω}) \vec{r}) d V \\ \equiv \int ρ A \vec{Ω} d V = I \vec{Ω} \end{aligned}

先在分量形式下猜测张量 $A$ 的各分量

r^{2} \vec{Ω} - (\vec{r} \cdot \vec{Ω}) \vec{r} = A \vec{Ω}

[\begin{matrix} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) Ω_{x} - (x Ω_{x} + y Ω_{y} + z Ω_{z}) x \\ (x^{2} + y^{2} + z^{2}) Ω_{y} - (x Ω_{x} + y Ω_{y} + z Ω_{z}) y \\ (x^{2} + y^{2} + z^{2}) Ω_{z} - (x Ω_{x} + y Ω_{y} + z Ω_{z}) z \end{matrix}] = [\begin{array}{ccc} y^{2} + z^{2} & - x y & - x z \\ - x y & x^{2} + z^{2} & - y z \\ - x z & - y z & x^{2} + y^{2} \end{array}] [\begin{matrix} Ω_{x} \\ Ω_{y} \\ Ω_{z} \end{matrix}]

可见张量

A = [\begin{array}{ccc} y^{2} + z^{2} & - x y & - x z \\ - x y & x^{2} + z^{2} & - y z \\ - x z & - y z & x^{2} + y^{2} \end{array}] = [r^{2} δ_{i j} - x_{i} x_{j}]

故转动惯量

I_{i j} = \int ρ (r^{2} δ_{i j} - x_{i} x_{j}) d V

动能和转动惯量

动能 (刚体质量 $μ$ 、平动速度 $\vec{V}$ 、转动角速度 $\vec{Ω}$ 、转动惯量 $I$ )

\begin{aligned} T & = \frac{1}{2} μ | \vec{V} |^{2} + \frac{1}{2} \vec{Ω} \cdot [I] \cdot \vec{Ω} \\ = \frac{1}{2} μ | \vec{V} |^{2} + \frac{1}{2} \sum_{i} \sum_{j} I_{i j} Ω_{i} Ω_{j} \end{aligned}

动能推导

固定坐标系中，动能

\begin{aligned} T & = \int \frac{1}{2} ρ {| \vec{V} + \vec{Ω} \times \vec{r} |}^{2} d V \\ = \int \frac{1}{2} ρ (| \vec{V} |^{2} + 2 \vec{V} \cdot (\vec{Ω} \times \vec{r}) + | \vec{Ω} \times \vec{r} |^{2}) d V \\ = \underset{①}{\underset{⏟}{\int \frac{1}{2} ρ | \vec{V} |^{2} d V}} + \underset{②}{\underset{⏟}{\int ρ \vec{V} \cdot (\vec{Ω} \times \vec{r}) d V}} + \underset{③}{\underset{⏟}{\int \frac{1}{2} ρ | \vec{Ω} \times \vec{r} |^{2} d V}} \end{aligned}

① = \frac{1}{2} μ | \vec{V} |^{2}

② = \int ρ \vec{r} \cdot (\vec{V} \times \vec{Ω}) d V = (\vec{V} \times \vec{Ω}) \cdot \int ρ \vec{r} d V = 0

对于 $③$

\begin{aligned} | \vec{Ω} \times \vec{r} |^{2} & = (Ω r \sin θ)^{2} \\ = Ω^{2} r^{2} (1 - \cos^{2} θ) \\ = Ω^{2} r^{2} - (\vec{Ω} \cdot \vec{r})^{2} \end{aligned}

r^{2} \vec{Ω} - (\vec{r} \cdot \vec{Ω}) \vec{r} = A \vec{Ω}

\Rightarrow | \vec{Ω} \times \vec{r} |^{2} = \vec{Ω} A \vec{Ω}

\begin{aligned} ③ & = \frac{1}{2} \int ρ | \vec{Ω} \times \vec{r} |^{2} d V \\ = \frac{1}{2} \int ρ \vec{Ω} A \vec{Ω} d V \\ = \frac{1}{2} \vec{Ω} I \vec{Ω} \end{aligned}

故动能

\begin{aligned} T & = \overset{平动动能}{\overset{⏞}{\frac{1}{2} μ | \vec{V} |^{2}}} + \overset{转动动能}{\overset{⏞}{\frac{1}{2} \vec{Ω} I \vec{Ω}}} \\ = \frac{1}{2} μ | \vec{V} |^{2} + \frac{1}{2} \sum_{i} \sum_{j} I_{i j} Ω_{i} Ω_{j} \end{aligned}

惯量主轴和主转动惯量

将转动惯量 $I$ 对角化，其三个特征值 $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ 及其对应的特征向量 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$

惯量主轴 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$
主转动惯量 $I_{1}, I_{2}, I_{3}$

刚体角动量 $\vec{M} = [I] \vec{Ω} = [\begin{matrix} I_{1} Ω_{1} \\ I_{2} Ω_{2} \\ I_{3} Ω_{3} \end{matrix}]$ 只有在 $I_{1} = I_{2} = I_{3}$ 或者 $\vec{Ω}$ 在主轴上时， $\vec{M}$ 与 $\vec{Ω}$ 平行。

记质心 $O$ 对应转动惯量 $I$ ，在质心外一点 $O^{'}$ ( $\vec{O O^{'}} = \vec{a}$ ) 对应转动惯量 $I^{'}$

I_{i j}^{'} = I_{i j} + μ (a^{2} δ_{i j} - a_{i} a_{j})

推导

记 $\vec{O O^{'}} = \vec{a}$ ，则 $\vec{r} = {\vec{r}}^{'} + \vec{a},$ $x_{i} = x_{i}^{'} + a_{i} (i = 1, 2, 3)$

\begin{aligned} I_{i j}^{'} & = \int ρ (r^{' 2} δ_{i j} - x_{i}^{'} x_{j}^{'}) d V \\ = \int ρ [((x_{1} - a_{1})^{2} + (x_{2} - a_{2})^{2} + (x_{3} - a_{3})^{2}) δ_{i j} - (x_{i} - a_{i}) (x_{j} - a_{j})] d V \\ = \int ρ [(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) δ_{i j} - x_{i} x_{j}] d V \\ + \int ρ [(- 2 a_{1} x_{1} - 2 a_{2} x_{2} - 2 a_{3} x_{3} + a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}) δ_{i j} + a_{i} x_{j} + a_{j} x_{i} - a_{i} a_{j}] d V \\ = I_{i j} + \int ρ (a^{2} δ_{i j} - a_{i} a_{j}) d V \\ = I_{i j} + μ (a^{2} δ_{i j} - a_{i} a_{j}) \end{aligned}

刚体运动方程

刚体拉格朗日量 $L = \frac{1}{2} μ | \vec{V} |^{2} + \frac{1}{2} \sum_{i} \sum_{j} I_{i j} Ω_{i} Ω_{j} - U$

势能 $U = U (\vec{R}, \vec{φ})$

平动方程：

\frac{\partial L}{\partial \vec{V}} = \vec{p}

\frac{\partial U}{\partial \vec{R}} = - \vec{F}

\dot{\vec{p}} = \vec{F}

转动方程：

\frac{\partial L}{\partial \vec{Ω}} = \vec{M}

\frac{\partial U}{\partial \vec{φ}} = - \vec{K} (t o r q u e)

\dot{\vec{M}} = \vec{K}

刚体运动欧拉方程

在刚体系中，取惯量主轴为坐标轴，有欧拉方程：

\begin{array}{l} {\begin{matrix} μ (\frac{d V_{1}}{d t} + Ω_{2} V_{3} - Ω_{3} V_{2}) = F_{1} \\ μ (\frac{d V_{2}}{d t} + Ω_{3} V_{1} - Ω_{1} V_{3}) = F_{2} \\ μ (\frac{d V_{3}}{d t} + Ω_{1} V_{2} - Ω_{2} V_{1}) = F_{3} \end{matrix} \\ {\begin{matrix} I_{1} \frac{d Ω_{1}}{d t} + (I_{3} - I_{2}) Ω_{2} Ω_{3} = K_{1} \\ I_{2} \frac{d Ω_{2}}{d t} + (I_{1} - I_{3}) Ω_{1} Ω_{3} = K_{2} \\ I_{3} \frac{d Ω_{3}}{d t} + (I_{2} - I_{1}) Ω_{1} Ω_{2} = K_{3} \end{matrix} \end{array}

推导

取随刚体转动的转动惯量主轴为坐标系，对于任意向量 $\vec{A}$ 由于旋转产生的增量

d \vec{A} = d \vec{φ} \times \vec{A}

\Rightarrow \frac{d \vec{A}}{d t} = \vec{Ω} \times \vec{A}

考虑向量 $\vec{A}$ 在刚体系中本身随时间变化 $d^{'} \vec{A}$

\frac{d \vec{A}}{d t} = \frac{d^{'} \vec{A}}{d t} + \vec{Ω} \times \vec{A}

故刚体运动方程在惯量主轴坐标系中为

\frac{d^{'} \vec{p}}{d t} + \vec{Ω} \times \vec{p} = \vec{F}

\frac{d^{'} \vec{M}}{d t} + \vec{Ω} \times \vec{M} = \vec{K}

定轴/定点转动、欧拉角

定轴转动

\frac{d}{d t} (I \vec{Ω}) = \vec{K}

定点转动

等价于 3 次定轴转动

{\begin{array}{cc} φ & 进动角 \\ θ & 章动角 \\ ψ & 自转角 \end{array}

在刚体系中 $\vec{Ω} = (Ω_{1}, Ω_{2}, Ω_{3})$

{\begin{cases} Ω_{1} = \dot{φ} \sin θ \sin ψ + \dot{θ} \cos ψ \\ Ω_{2} = \dot{φ} \sin θ \cos ψ - \dot{θ} \sin ψ \\ Ω_{3} = \dot{φ} \cos θ + \dot{ψ} \end{cases}

动能

\begin{aligned} T & = \frac{1}{2} I_{1} Ω_{1}^{2} + \frac{1}{2} I_{2} Ω_{2}^{2} + \frac{1}{2} I_{3} Ω_{3}^{2} \\ = \frac{1}{2} I_{1} ({\dot{φ}}^{2} \sin^{2} θ + {\dot{θ}}^{2}) + \frac{1}{2} I_{3} (\dot{φ} \cos θ + \dot{ψ})^{2} \end{aligned}

陀螺进动

陀螺角动量的 $z$ 向分量 $M_{z} = I_{3} \dot{ψ} \cos θ$

由于重力矩作用，章动角 $θ \to (θ + d θ)$ ，角动量分量 $d M_{z} = - I_{3} \dot{ψ} \sin θ d θ$

由于 $z$ 向角动量守恒，需要陀螺整体绕 $z$ 轴转动提供 $I_{3} \dot{ψ} \sin θ d θ$ 的角动量。

非惯性系中的运动

平动

记非惯性系 $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 相对惯性系 $(x, y, z)$ 有平动速度 $\vec{V} (t)$

m \frac{d {\vec{v}}^{'}}{d t} = - m \frac{d \vec{V}}{d t} - \frac{\partial U}{\partial {\vec{r}}^{'}}

其中 $- m \frac{d \vec{V}}{d t}$ 为惯性力。

推导

$\vec{v} = {\vec{v}}^{'} + \vec{V} (t)$ 非惯性系中拉格朗日量为

\begin{aligned} L^{'} & = \frac{1}{2} m | \vec{v} |^{2} - U \\ = \frac{1}{2} m | {\vec{v}}^{'} + \vec{V} |^{2} - U \\ = \frac{1}{2} m | {\vec{v}}^{'} |^{2} + \frac{1}{2} m | \vec{V} |^{2} + m {\vec{v}}^{'} \cdot \vec{V} - U \end{aligned}

其中 $\frac{1}{2} m | \vec{V} |^{2}$ 是时间的函数，

m {\vec{v}}^{'} \cdot \vec{V} = m \frac{d {\vec{r}}^{'}}{d t} \cdot \vec{V} = \frac{d}{d t} (m {\vec{r}}^{'} \cdot \vec{V}) - m {\vec{r}}^{'} \cdot \frac{d \vec{V}}{d t}

其中 $\frac{d}{d t} (m {\vec{r}}^{'} \cdot \vec{V})$ 是时间的全微分。

L^{'} = \frac{1}{2} m | {\vec{v}}^{'} |^{2} - m {\vec{r}}^{'} \cdot \frac{d \vec{V}}{d t} - U

其拉格朗日方程

\frac{d}{d t} \frac{\partial L^{'}}{\partial {\vec{v}}^{'}} = \frac{\partial L^{'}}{\partial {\vec{r}}^{'}} \Rightarrow

m \frac{d {\vec{v}}^{'}}{d t} = - m \frac{d \vec{V}}{d t} - \frac{\partial U}{\partial {\vec{r}}^{'}}

转动

记非惯性系 $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 相对惯性系 $(x, y, z)$ 有转动速度 $\vec{Ω}$

m \frac{d {\vec{v}}^{'}}{d t} = m {\vec{r}}^{'} \times \dot{\vec{Ω}} + 2 m {\vec{v}}^{'} \times \vec{Ω} + m (\vec{Ω} \times {\vec{r}}^{'}) \times \vec{Ω} - \frac{\partial U}{\partial {\vec{r}}^{'}}

其中惯性力有 3 项：

$m {\vec{r}}^{'} \times \dot{\vec{Ω}}$ 庞加莱力
$2 m {\vec{r}}^{'} \times \vec{Ω}$ 科里奥利力
$m (\vec{Ω} \times {\vec{r}}^{'}) \times \vec{Ω}$ 离心力

推导

$\vec{v} = {\vec{v}}^{'} + \vec{Ω} \times {\vec{r}}^{'}$

\begin{aligned} L^{'} & = \frac{1}{2} m | {\vec{v}}^{'} + \vec{Ω} \times {\vec{r}}^{'} |^{2} - U \\ = \frac{1}{2} m (v^{' 2} + | \vec{Ω} \times {\vec{r}}^{'} |^{2} + 2 {\vec{v}}^{'} \cdot (\vec{Ω} \times {\vec{r}}^{'})) - U \end{aligned}

\begin{aligned} d L^{'} & = m {\vec{v}}^{'} \cdot d {\vec{v}}^{'} + m (\vec{Ω} \times {\vec{r}}^{'}) \cdot (\vec{Ω} \times d {\vec{r}}^{'}) \\ + m d {\vec{v}}^{'} \cdot (\vec{Ω} \times {\vec{r}}^{'}) + m {\vec{v}}^{'} \cdot (\vec{Ω} \times d {\vec{r}}^{'}) \\ - \frac{\partial U}{\partial {\vec{r}}^{'}} \cdot d {\vec{r}}^{'} \end{aligned}

\frac{\partial L^{'}}{\partial {\vec{v}}^{'}} = m {\vec{v}}^{'} + m \vec{Ω} \times {\vec{r}}^{'}

\frac{\partial L^{'}}{\partial {\vec{r}}^{'}} = m (\vec{Ω} \times {\vec{r}}^{'}) \times \vec{Ω} + m {\vec{v}}^{'} \times \vec{Ω} - \frac{\partial U}{\partial {\vec{r}}^{'}}

由拉格朗日方程

\frac{d}{d t} \frac{\partial L^{'}}{\partial {\vec{v}}^{'}} = \frac{\partial L^{'}}{\partial {\vec{r}}^{'}} \Rightarrow

m \frac{d {\vec{v}}^{'}}{d t} + m (\frac{d \vec{Ω}}{d t} \times {\vec{r}}^{'} + \vec{Ω} \times {\vec{v}}^{'}) = m (\vec{Ω} \times {\vec{r}}^{'}) \times \vec{Ω} + m {\vec{v}}^{'} \times \vec{Ω} - \frac{\partial U}{\partial {\vec{r}}^{'}}

\Leftrightarrow m \frac{d {\vec{v}}^{'}}{d t} = m {\vec{r}}^{'} \times \dot{\vec{Ω}} + 2 m {\vec{v}}^{'} \times \vec{Ω} + m (\vec{Ω} \times {\vec{r}}^{'}) \times \vec{Ω} - \frac{\partial U}{\partial {\vec{r}}^{'}}

既有平动又有转动

m \frac{d {\vec{v}}^{'}}{d t} = - m \frac{d \vec{V}}{d t} + m {\vec{r}}^{'} \times \dot{\vec{Ω}} + 2 m {\vec{v}}^{'} \times \vec{Ω} + m (\vec{Ω} \times {\vec{r}}^{'}) \times \vec{Ω} - \frac{\partial U}{\partial {\vec{r}}^{'}}

特殊情况：无平动，均匀转动

m \frac{d {\vec{v}}^{'}}{d t} = 2 m {\vec{v}}^{'} \times \vec{Ω} + m (\vec{Ω} \times {\vec{r}}^{'}) \times \vec{Ω} - \frac{\partial U}{\partial {\vec{r}}^{'}}

记惯性系下动量 $\vec{p}$ 、角动量 $\vec{M}$ 、能量 $E$ ，非惯性系下动量 ${\vec{p}}^{'}$ 、角动量 ${\vec{M}}^{'}$ 、能量 $E^{'}$

有

\vec{p} = {\vec{p}}^{'}, \vec{M} = {\vec{M}}^{'}, E - E^{'} = \vec{M} \cdot \vec{Ω}

推导

非惯性系下拉格朗日量

L^{'} = \frac{1}{2} m v^{' 2} + \frac{1}{2} m | \vec{Ω} \times {\vec{r}}^{'} |^{2} + m \vec{v} \cdot (\vec{Ω} \times {\vec{r}}^{'}) - U

{\vec{p}}^{'} = \frac{\partial L^{'}}{\partial {\vec{v}}^{'}} = m {\vec{v}}^{'} + m \vec{Ω} \times {\vec{r}}^{'}

非惯性系能量

E^{'} = \vec{v} \cdot {\vec{p}}^{'} - L^{'} = \frac{1}{2} m v^{' 2} + U - \frac{1}{2} m | \vec{Ω} \times {\vec{r}}^{'} |^{2}

惯性系能量

E = \frac{1}{2} m v^{2} + U

\begin{aligned} E - E^{'} & = m | \vec{Ω} \times \vec{r} |^{2} + m {\vec{v}}^{'} \cdot (\vec{Ω} \times \vec{r}) \\ = m (\vec{Ω} \times \vec{r}) \cdot \vec{v} = (\vec{r} \times m \vec{v}) \cdot \vec{Ω} \\ = \vec{M} \cdot \vec{Ω} \end{aligned}

傅科摆

我们不考虑离心力，不考虑 $z$ 方向 ( $θ ≪ 1$ )，只考虑 $x y$ 平面时有

m \frac{d \vec{v}}{d t} = 2 m \vec{v} \times {\vec{Ω}}_{z} - \frac{\partial U}{\partial \vec{r}}

其中 $Ω_{z} = Ω \sin φ$ ， $U = m g z \approx \frac{1}{2} m g l θ^{2} \approx \frac{1}{2} m g l \sin^{2} θ = \frac{1}{2} m g l \frac{x^{2} + y^{2}}{l^{2}}$

进而有

{\begin{cases} \ddot{x} + ω^{2} x = 2 Ω_{z} \dot{y} \\ \ddot{y} + ω^{2} y = - 2 Ω_{z} \dot{x} \end{cases} (ω^{2} = \frac{g}{l})

记 $ξ = x + i y$ 有 $\ddot{ξ} + 2 i Ω_{z} \dot{ξ} + ω^{2} ξ = 0$ 解得

x + i y = ξ = e^{- i Ω_{z} t} (x_{0} + i y_{0})

哈密顿力学

哈密顿方程

哈密顿量 (Hamiltonian) $H (p, q, t) = E$
哈密顿方程 (Hamilton's equations) / 正则方程 (canonical equations)

\frac{\partial H}{\partial p_{i}} = {\dot{q}}_{i}, \frac{\partial H}{\partial q_{i}} = - {\dot{p}}_{i} (i = 1, . . ., s)

推导

由能量的勒让德变换 $E = p \dot{q} - L$

\begin{aligned} d L & = \frac{\partial L}{\partial q} d q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} d \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial t} d t \\ = \dot{p} d q + p d \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial t} d t \\ = \dot{p} d q + d (p \dot{q}) - \dot{q} d p + \frac{\partial L}{\partial t} d t \end{aligned}

\Rightarrow d (p \dot{q} - L) = \dot{q} d p - \dot{p} d q - \frac{\partial L}{\partial t} d t

\Rightarrow d H = \dot{q} d p - \dot{p} d q - \frac{\partial L}{\partial t} d t

故

\frac{\partial H}{\partial p} = \dot{q}, \frac{\partial H}{\partial q} = - \dot{p}

泊松括号

记泊松括号 (Poisson bracket)

[f, g] = \sum_{i} (\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} - \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}})

对于函数 $f (p, q, t)$ 有 $\frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial t} + [H, f]$

性质：

$[f, g] = - [g, f]$
$[f, C] = 0$
$[f_{1} + f_{2}, g] = [f_{1}, g] + [f_{2}, g]$
$\frac{\partial}{\partial t} [f, g] = [\frac{\partial f}{\partial t}, g] + [f, \frac{\partial g}{\partial t}]$

泊松定理：两个运动积分的泊松括号仍是运动积分
哈密顿方程： ${\dot{q}}_{i} = [H, q_{i}], {\dot{p}}_{i} = [H, p_{i}]$

关于作用量

$\frac{\partial S}{\partial q_{i}} = p_{i}$
$\frac{\partial S}{\partial t} = - H$
$d S = \sum_{i} p_{i} d q_{i} - H d t$

推导

S = \int L d t = \int (p \dot{q} - H) d t = \int (p d q - H d t)

正则变换

正则变换 (canonical transformation) ：

$(p, q) \to (p^{'}, q^{'})$ , $H (p, q, t) \to H^{'} (p^{'}, q^{'}, t)$

{\begin{cases} \frac{\partial H}{\partial p} = \dot{q} \\ \frac{\partial H}{\partial q} = - \dot{p} \end{cases} \to {\begin{cases} \frac{\partial H^{'}}{\partial p^{'}} = \dot{q^{'}} \\ \frac{\partial H^{'}}{\partial q^{'}} = - \dot{p^{'}} \end{cases}

哈密顿方程的形式不变。

生成函数 (generating function) ：

第一类生成函数 $F (q, q^{'}, t)$

\frac{\partial F}{\partial q} = p, \frac{\partial F}{\partial q^{'}} = - p^{'}, \frac{\partial F}{\partial t} = H^{'} - H

e.g.

例如有生成函数 $F (q, q^{'}, t) = q q^{'}$

有 $\frac{\partial F}{\partial t} = 0 \Rightarrow H^{'} = H$

\begin{array}{lcl} \frac{\partial F}{\partial q} = p & \Rightarrow & q^{'} = p \\ \frac{\partial F}{\partial q^{'}} = - p^{'} & \Rightarrow & q = - p^{'} \end{array}} \Rightarrow (p, q) \to (- q, p) = (p^{'}, q^{'})

假设 $H = p^{2} + q$ 则 $H^{'} = q^{' 2} - p^{'}$

比较两组正则方程

{\begin{cases} \frac{\partial H}{\partial p} = 2 p = \dot{q} \\ \frac{\partial H}{\partial q} = 1 = - \dot{p} \end{cases} {\begin{cases} \frac{\partial H^{'}}{\partial p^{'}} = - 1 = {\dot{q}}^{'} \\ \frac{\partial H^{'}}{\partial q^{'}} = 2 q^{'} = - {\dot{p}}^{'} \end{cases}

两组正则方程一致，说明 $p$ 和 $q$ 地位对等，称为共轭量。

除了第一类生成函数 $F (q, q^{'}, t)$ 还有第二类生成函数 $Φ (q, p^{'}, t)$

\frac{\partial Φ}{\partial q} = p, \frac{\partial Φ}{\partial p^{'}} = q^{'}, \frac{\partial Φ}{\partial t} = H^{'} - H

4类生成函数：

\begin{matrix} F (q, q^{'}, t), Φ (q, p^{'}, t) \\ G (p, q^{'}, t), Ψ (p, p^{'}, t) \end{matrix}

运动过程可以看成一系列正则变换，其生成函数 $F = - S$

刘维尔定理

相空间 (phase space) ： $(p, q)$ 2s个变量
刘维尔定理：正则变换下/运动过程中，相空间体积守恒

\int d q_{1} \dots d q_{s} d p_{1} \dots d p_{s} = \int d q_{1}^{'} \dots d q_{s}^{'} d p_{1}^{'} \dots d p_{s}^{'}

哈密顿-雅可比方程

哈密顿-雅可比方程 (Hamilton-Jacobi)

\frac{\partial S}{\partial t} + H (q, \frac{\partial S}{\partial q}, t) = 0

解的形式 $S = f (q_{1}, \dots, q_{s}, α_{1}, \dots, α_{s}, t) + A$

将解 $f$ 看作第二类生成函数，做正则变换

\begin{array}{cc} Φ (q, p^{'}, t) & f (q_{i}, α_{i}, t) \\ \frac{\partial Φ}{\partial q} = p & \frac{\partial f}{\partial q_{i}} = p_{i} \\ \frac{\partial Φ}{\partial p^{'}} = q^{'} & \frac{\partial f}{\partial α_{i}} = q_{i}^{'} = β_{i} \\ \frac{\partial Φ}{\partial t} = H^{'} - H & \frac{\partial f}{\partial t} = H^{'} - H \end{array}

\frac{\partial f}{\partial t} + H = 0 \Rightarrow H^{'} = 0

由 ${\dot{α}}_{i} = - \frac{\partial H^{'}}{\partial q_{i}^{'}}, {\dot{β}}_{i} = \frac{\partial H^{'}}{\partial p_{i}^{'}}$

$α_{i}, β_{i}$ 是守恒量。

H-J方程的解是正则变换 $H^{'} = 0$ 的第二类生成函数，新动量、新坐标都是运动积分。

e.g. 用 Hamilton-Jacobi 方程计算自由落体

哈密顿量 $H = \frac{p^{2}}{2 m} + m g z$

H-J方程 $\frac{\partial S}{\partial t} + H = \frac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2 m} {(\frac{\partial S}{\partial z})}^{2} + m g z = 0$

由于 $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$ 猜 $S = S_{0} (z) - E t + A$ （引入参数 $E, A$ ）

解得 $S = \int \sqrt{2 m (E - m g z)} d z - E t + A$

将 $S (z, E, t)$ 看作第二类生成函数，即 $E$ 是正则变换的新动量， $\frac{\partial S}{\partial E}$ 是新坐标，是运动积分。

\begin{aligned} \frac{\partial S}{\partial E} = e & \Rightarrow \int \frac{m d z}{\sqrt{2 m (E - m g z)}} - t = e \\ \Rightarrow - \frac{1}{m g} \sqrt{2 m (E - m g z)} = t + e \\ \Rightarrow z (t) = \frac{E}{m g} - \frac{1}{2} g (t + e)^{2} \end{aligned}

参数 $E$ 是能量， $e$ 是初始时刻。

习题

example1

对于一个质量 $m_{s}$ 的恒星和 $n$ 个相同质量 $m_{p}$ 的行星 $(α = 1, . . ., n)$ ，求 $L ({\vec{R}}_{α}, {\dot{\vec{R}}}_{α})$

solve

{\begin{cases} m_{s} {\vec{r}}_{s} + \sum_{α} m_{p} {\vec{r}}_{α} = 0 \\ {\vec{R}}_{α} = {\vec{r}}_{α} - {\vec{r}}_{s} \end{cases}

{\begin{cases} {\vec{r}}_{s} = - \frac{m_{p}}{μ} \sum_{α} {\vec{R}}_{α} \\ {\vec{r}}_{α} = {\vec{R}}_{α} - \frac{m_{p}}{μ} \sum_{α} {\vec{R}}_{α} \end{cases}, μ = m_{s} + n m_{p}

\begin{array}{rcl} L & = & \frac{1}{2} m_{s} | {\dot{\vec{r}}}_{s} |^{2} + \frac{1}{2} m_{p} \sum_{α} | {\dot{\vec{r}}}_{α} |^{2} - U \\ = & \frac{1}{2} m_{s} (- \frac{m_{p}}{μ} \sum_{α} {\vec{R}}_{α}) \cdot (- \frac{m_{p}}{μ} \sum_{α} {\vec{R}}_{α}) \\ + \frac{1}{2} m_{p} \sum_{α} [({\vec{R}}_{α} - \frac{m_{p}}{μ} \sum_{α} {\vec{R}}_{α}) \cdot ({\vec{R}}_{α} - \frac{m_{p}}{μ} \sum_{α} {\vec{R}}_{α})] - U \\ = & \frac{1}{2} m_{s} \frac{m_{p}^{2}}{μ^{2}} {| \sum_{α} {\dot{\vec{R}}}_{α} |}^{2} + \frac{1}{2} m_{p} \sum_{α} {| {\dot{\vec{R}}}_{α} |}^{2} \\ - \frac{m_{p}^{2}}{μ} {| \sum_{α} {\dot{\vec{R}}}_{α} |}^{2} + \frac{1}{2} \frac{m_{p}^{2}}{μ^{2}} (μ - m_{s}) {| \sum_{α} {\dot{\vec{R}}}_{α} |}^{2} - U \\ = & \frac{1}{2} m_{p} \sum_{α} {| {\dot{\vec{R}}}_{α} |}^{2} - \frac{1}{2} \frac{m_{p}^{2}}{μ} {| \sum_{α} {\dot{\vec{R}}}_{α} |}^{2} - U \end{array}

example2

example2 水星进动 precession

考虑相对论修正后，势能项 $U = - k / r + δ U$ 其中 $δ U = α / r^{3}$

求 $Δ φ$ 从 $r_{m i n}$ 到 $r_{m a x}$ 再回到 $r_{m i n}$ 的变化 $δ (Δ φ)$

solve

Δ φ = 2 \int_{r_{m i n}}^{r_{m a x}} \frac{M}{r^{2}} {[2 m (E - U) - \frac{M^{2}}{r^{2}}]}^{- 1 / 2} d r

在 $r_{m i n}$ 和 $r_{m a x}$ ， $E = U_{e f f}$ 分母为零，有奇性。做变换

Δ φ = - 2 \frac{\partial}{\partial M} \int_{r_{m i n}}^{r_{m a x}} {[2 m (E - U) - \frac{M^{2}}{r^{2}}]}^{1 / 2} d r

U = - k / r + δ U = U_{0} + δ U = U_{0} (1 + \frac{δ U}{U_{0}})

对 $δ U / U_{0}$ 做 Taylor 展开

δ (Δ φ) = \frac{\partial}{\partial M} \int_{r_{m i n}}^{r_{m a x}} {[2 m (E - U_{0}) - \frac{M^{2}}{r^{2}}]}^{- 1 / 2} 2 m δ U d r

由有心力场的轨迹形状

d φ = \frac{M}{r^{2}} {[2 m (E - U_{0}) - \frac{M^{2}}{r^{2}}]}^{- 1 / 2} d r

则

δ (Δ φ) = \frac{\partial}{\partial M} (\int_{0}^{π} \frac{2 m r^{2}}{M} δ U d φ)

由势能的相对论修正

δ U = α / r^{3}

有

\begin{aligned} δ (Δ φ) & = 2 m α \frac{\partial}{\partial M} (\frac{1}{M} \int_{0}^{π} \frac{1}{r} d r) \\ = 2 m α \frac{\partial}{\partial M} (\frac{1}{M} \int_{0}^{π} \frac{1 + e \cos φ}{p} d φ) \\ = 2 m α π \frac{\partial}{\partial M} (\frac{1}{M p}) \end{aligned}

由半通径与角动量关系

p = \frac{M^{2}}{G μ m^{2}}, μ = m_{1} + m_{2}

故

δ (Δ φ) = 2 m α π \frac{\partial}{\partial M} (\frac{G μ m^{2}}{M^{3}}) = - 6 π G α μ m^{3} M^{- 4}

补充

电磁场中带电粒子

在非相对论情形下，电磁场中的带电粒子，其拉格朗日量为

L = \frac{1}{2} m v^{2} - q (ϕ - v \cdot A)

正则动量

P = m v + q A

哈密顿量

H = \frac{1}{2 m} (P - q A)^{2} + q ϕ

参考知乎-【知识仓库】电磁学 - 洛伦兹力和正则动量

理论力学 ​

运动方程 ​

最小作用量原理 ​

拉格朗日量的性质 ​

拉格朗日量的形式 ​

守恒律 ​

能量守恒 ​

动量守恒 ​

角动量守恒 ​

参考系 ​

相似性 ​

位力定理 ​

中心力场 ​

一维运动 ​

约化质量 ​

中心力场的运动 ​

开普勒问题 ​

椭圆 ​

双曲线 ​

抛物线 ​

比内公式 ​

第三个守恒量 ​

圆轨道的稳定性 ​

潮汐 tidal ​

微振动 ​

一维自由振动 ​

受迫振动 ​

周期外力 ​

一般情况 ​

阻尼振动 ​

受迫阻尼振动 ​

快速变化力场中的运动 ​

刚体运动 ​

基本概念 ​

角动量和转动惯量 ​

动能和转动惯量 ​

惯量主轴和主转动惯量 ​

刚体运动方程 ​

刚体运动欧拉方程 ​

定轴/定点转动、欧拉角 ​

非惯性系中的运动 ​

哈密顿力学 ​

哈密顿方程 ​

泊松括号 ​

关于作用量 ​

正则变换 ​

刘维尔定理 ​

哈密顿-雅可比方程 ​

习题 ​

example1 ​

example2 ​

补充 ​

电磁场中带电粒子 ​

理论力学

运动方程

最小作用量原理

拉格朗日量的性质

拉格朗日量的形式

守恒律

能量守恒

动量守恒

角动量守恒

参考系

相似性

位力定理

中心力场

一维运动

约化质量

中心力场的运动

开普勒问题

椭圆

双曲线

抛物线

比内公式

第三个守恒量

圆轨道的稳定性

潮汐 tidal

微振动

一维自由振动

受迫振动

周期外力

一般情况

阻尼振动

受迫阻尼振动

快速变化力场中的运动

刚体运动

基本概念

角动量和转动惯量

动能和转动惯量

惯量主轴和主转动惯量

刚体运动方程

刚体运动欧拉方程

定轴/定点转动、欧拉角

非惯性系中的运动

哈密顿力学

哈密顿方程

泊松括号

关于作用量

正则变换

刘维尔定理

哈密顿-雅可比方程

习题

example1

example2

补充

电磁场中带电粒子