暗能量的理论与实验观测

建议先学习广义相对论相关内容，可以参考 相对论

能看懂爱因斯坦场方程即可。

标准宇宙学模型

• 宇宙演化满足爱因斯坦场方程

$$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R=8\pi G{T}_{\mu \nu }$$

• 宇宙学基本原理：在大尺度上，宇宙中的物质是均匀的，各项同性的。

• Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker metric （FLRW度规）

$$\mathrm{d}{s}^2=-c^2\mathrm{d}{t}^2+a^2(t)[\frac{\mathrm{d}{r}^2}{1-K{r}^2}+r^2(\mathrm{d}{\theta }^2+{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2)]$$

$a$ 为宇宙尺度因子， $K$ 为宇宙的曲率

平坦时空度规

$$\mathrm{d}{s}^2=-c^2\mathrm{d}{t}^2+a^2(t)[\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2+\mathrm{d}{z}^2]$$

• Friedmann 方程

对于理想流体，能动张量

$$T_{\nu }^{\mu }=\text{diag}\{-\rho ,P,P,P\}$$

爱因斯坦方程的 $(0,0)$ 分量

$$H^2\equiv {\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{K}{a^2}$$

$(i,i)$ 分量

$$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +3P)$$

能量守恒方程

$$\dot{\rho }+3H(\rho +P)=0$$

• 哈勃参数

$$H\equiv \frac{\dot{a}}{a}$$

哈勃定律：河外星系的视向退行速度与距离成正比

$$v=H_{0}d$$

归一化无量纲因子

$$h\equiv \frac{H_0}{100\text{km}{\text{s}}^{-1}{\text{Mpc}}^{-1}}$$

• 物质状态方程

$$P=w\rho$$

$w$ 是状态方程参数

由能量守恒方程解出

$$\rho \propto a^{-3(1+w)}$$

在平坦时空，还有

$$H=\frac{2}{3(1+w)(t-t_0)}$$$$a(t)\propto (t-t_0{)}^{2/3(1+w)}$$

对普通尘埃物质，压强远小于能量密度， $w\sim 0,{\rho }_m\propto a^{-3}$ ；对于辐射物质，压强与能量密度有 $P=\rho /3,w=1/3,{\rho }_r\propto a^{-4}$

暗能量的观测证据和基本性质

一些基本的物理量

• 临界能量密度：

$$\begin{array}{rl}{\rho }_{\text{crit},0}=\frac{3H_0^2}{8\pi G}& =1.9\times {10}^{-29}{h}^2{\text{grams cm}}^{-3}\\ & =2.8\times {10}^{11}{h}^2{M}_{\odot }{\text{Mpc}}^{-3}\\ & =1.1\times {10}^{-5}{h}^2{\text{protons cm}}^{-3}\end{array}$$

能量密度参数：

$${\mathrm{\Omega }}_{I,0}\equiv \frac{{\rho }_{I,0}}{{\rho }_{\text{crit},0}}$$

Friedmann 方程：

$$\frac{H^2}{H_0^2}={\mathrm{\Omega }}_r{a}^{-4}+{\mathrm{\Omega }}_m{a}^{-3}+{\mathrm{\Omega }}_k{a}^{-2}+{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}$$

其中曲率密度参数 ${\mathrm{\Omega }}_k\equiv -\frac{k}{H_0^2}$

• 宇宙学红移：

$$z=\frac{a(t_0)}{a(t_1)}-1=\frac{1}{a}-1$$

• 哈勃参数的演化

根据 FLRW 度规推导的 Friedmann 方程

$$E(z)\equiv {\left(\frac{H(z)}{H_0}\right)}^2={\mathrm{\Omega }}_{m,0}(1+z{)}^3+{\mathrm{\Omega }}_{k,0}(1+z{)}^2+{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda },0}$$

• 宇宙年龄

$$t_0=\frac{1}{H_0}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}z}{(1+z)E(z{)}^{1/2}}$$

• 哈勃距离

$$t_H\equiv \frac{1}{H_0}=9.78\times {10}^9{h}^{-1}\text{yr},D_H\equiv \frac{c}{H_0}=3000h^{-1}\text{Mpc}$$

• 共动距离

$$D_C=D_H{\int }_0^z\frac{d{z}^{\prime }}{E(z{)}^{1/2}},E(z)={\mathrm{\Omega }}_M(1+z{)}^3+{\mathrm{\Omega }}_k(1+z{)}^2+{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}$$

它是一个与宇宙膨胀无关的、几何上的固有距离。它定义了天体在宇宙共动坐标系（可以想象成烙在膨胀空间上的固定网格）中的位置。对于任何已被观测到的天体，其共动距离是一个永恒不变的常数。

• 光度距离

$$d_L=\sqrt{\frac{L}{4\pi F}}$$$$d_L=(1+z)D_C$$

• 角直径距离

$$d_A\equiv \frac{D}{\delta \theta }=a(t_1)D_C=\frac{D_C}{1+z}$$

• Cosmic Distance Duality Relation （宇宙距离对偶关系）

$$d_A=\frac{d_L}{(1+z{)}^2}$$

仅与宇宙的几何有关，与具体模型无关，检验参数 $\eta =\frac{d_L}{d_A(1+z{)}^2}$

宇宙加速膨胀的观测证据

1. Ia型超新星：光度距离比预期大

2. 减速因子：

$$q\equiv -a\ddot{a}/{\dot{a}}^2$$

对于ΛCDM模型

$$q_0=\frac{{\mathrm{\Omega }}_{m,0}}{2}-{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda },0}$$

观测表明 $q_0\sim -0.6$

3. 宇宙年龄：

最老球状星团年龄 $12\sim 13.5\text{Gyr}$

只有物质的平坦宇宙年龄 $t_0=\frac{2}{3H_0}\approx 8-10\text{Gyr}$ ，与观测矛盾

引入暗能量（宇宙学参数）后，年龄

$$H_0{t}_0={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dz}{(1+z)\sqrt{{\mathrm{\Omega }}_m^{(0)}(1+z{)}^3+{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}^{(0)}}}$$

当 ${\mathrm{\Omega }}_m\approx 0.3,{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}\approx 0.7,h=0.7$ 时， $t_0\sim 13.1\text{Gyr}$

4. CMB 和 LSS 观测：结合大尺度结构数据，强烈支持一个由约70%暗能量、26%暗物质和4%重子物质组成的平坦宇宙模型。

暗能量的基本性质

1. 负压强

由 Friedmann 方程：

$$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +3p)$$

要求 $\ddot{a}>0$ 有 $w=p/\rho <-1/3$

宇宙中物质占 $30\mathrm{\%},{\mathrm{\Omega }}_m=0.3$ ，暗能量占 $70\mathrm{\%},{\mathrm{\Omega }}_{DE}=0.7$

$$w=w_m{\mathrm{\Omega }}_m+w_{DE}{\mathrm{\Omega }}_{DE}$$$$w_{DE}\approx \frac{10}{7}w<-\frac{10}{21}$$

2. 宇宙学常数项

$$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }$$

能量密度 $\mathrm{\Lambda }=8\pi G{\rho }_{\mathrm{\Lambda }}$

$$P_{\mathrm{\Lambda }}=-{\rho }_{\mathrm{\Lambda }},w=-1$$

3. 宇宙学常数问题（精细调节 Fine-tuning 问题）

现在观测到的暗能量密度 ${\rho }_{eff}\approx {10}^{-47}{\text{GeV}}^4$

量子场论估算真空零点能密度（取普朗克能标） ${\rho }_{vac}\approx {10}^{74}{\text{GeV}}^4$

调节 $\mathrm{\Lambda }$ 使

$${\rho }_{eff}={\rho }_{vac}+\frac{\mathrm{\Lambda }}{8\pi G}$$

4. 重合性问题（Coincidence问题）

宇宙演化到今天，暗能量密度和物质密度在同一量级。 但是二者演化不同：物质 ${\rho }_m\propto a^{-3}$ ，宇宙学常数 ${\rho }_{\mathrm{\Lambda }}=\text{const}$

暗能量的理论模型和扰动性质

动力学暗能量模型

宇宙学常数模型对应暗能量状态方程始终为 $w=-1$ ，但实际观测显示其可能偏离 $-1$ ，能量密度和状态方程可能随宇宙演化而改变。主要模型：

1. Quintessence （精质场）模型：将暗能量解释为近似均匀分布的标量场 $\varphi$ ，与引力最小耦合，沿势函数 $V(\varphi )$ 滚动。

   $$S=\int d^{4}x\sqrt{-g}[-\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }\varphi {)}^2-V(\varphi )]$$

2. K-essence （动能主导）模型：依赖标量场动能项推动加速膨胀。

   $$S=\int d^{4}x\sqrt{-g}p(\varphi ,X),X\equiv -\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }\varphi {)}^2$$

3. Phantom （幻影）模型： $w<-1$ （Quintessence模型给出的 $w$ 都大于 $-1$）

   $$S=\int d^{4}x\sqrt{-g}[\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }\varphi {)}^2-V(\varphi )]$$

4. Chaplygin Gas （查普利金气体）模型：理想流体作为暗能量

解决重合性问题

追踪解 (Tracking Solution):

标量场状态方程随背景变化：辐射为主时 $w=1/3$ ，物质为主时 $w=0$ ，晚期加速时 $w=-1$

Autonomous （自发）系统与稳定性分析

系统形式：

$$\dot{x}=f(x,y),\dot{y}=g(x,y)$$

临界点 Critical Point / 吸引子 attractor:

$$(f,g){|}_{(x_c,y_c)}=0$$$$(x(t),y(t))\to (x_c,y_c)\text{for}t\to \mathrm{\infty }$$

扰动分析：

$$x=x_c+\delta x,y=y_c+\delta y$$$$\frac{d}{dN}\left(\begin{array}{c}\delta x\\ \delta y\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{c}\delta x\\ \delta y\end{array}\right),N=\ln (a)$$$$M={\left[\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}& {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}\\ {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}}& {\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}}\end{array}\right]}_{(x_c,y_c)}$$$$\delta x=C_1{e}^{{\mu }_{1}N}+C_2{e}^{{\mu }_{2}N},\delta y=C_3{e}^{{\mu }_{1}N}+C_4{e}^{{\mu }_{2}N}$$

稳定性分析：

• 稳定结点 (Stable Node): ${\mu }_1<0,{\mu }_2<0$
• 不稳定结点 (Unstable Node): ${\mu }_1>0,{\mu }_2>0$
• 马鞍点 (Saddle Point): ${\mu }_1{\mu }_2<0$
• 稳定漩涡 (Stable Spiral): $\text{Re}({\mu }_1)<0,\text{Re}({\mu }_2)<0,\text{det}M<0$

相互作用暗能量模型

与冷暗物质 (CDM) 相互作用

与光子 Chern-Simons 相互作用

暴涨理论

暴涨定义：宇宙极早期 $(\sim {10}^{-33}s)$ 发生的指数式加速膨胀，尺度因子增长约 ${10}^{43}$ 倍。

必要性：解决热大爆炸模型的平坦性问题、视界问题、磁单极问题等。

扰动理论

对平坦 FLRW 度规引入扰动计算

...

暗能量扰动方程含 $(1+w)$ 项在分母，当 $w\to -1$ 扰动发散，故 $w=-1$ 称为宇宙学边界。

• 止步定理：在四维经典爱因斯坦引力下，由单一成分（单一流体或单标量场 $\mathcal{L}=\mathcal{L}(\varphi ,{\partial }_{\mu }\varphi {\partial }^{\mu }\varphi )$）描述且与引力及其他物质最小耦合的暗能量，其状态方程无法跨越 $w=-1$ 边界。

• 跨越 $-1$ 的途径：打破上述至少一个条件，如：

  1. 修改引力： $f(R)$ 理论

     $$S=\frac{1}{16\pi G}\int d^{4}x\sqrt{-g}f(R)$$

  2. 引入多成分：双标量场

     $$S=\int d^{4}x\sqrt{-g}[\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\varphi }_1{\mathrm{\nabla }}^{\mu }{\varphi }_1-\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\varphi }_2{\mathrm{\nabla }}^{\mu }{\varphi }_2-V({\varphi }_1,{\varphi }_2)]$$

  3. 引入非最小耦合或相互作用

数值计算与参数化

• 常用参数化形式：

  1. 常数 $w=\text{const}$
  2. 低红移展开 $w(z)=w_0+w_{1}z$
  3. CPL 参数化（常用） $w(a)=w_0+w_a(1-a),w_a=-\mathrm{d}w/\mathrm{d}a{|}_{a=1}$
  4. 振荡型 $w(z)=w_0+w_1\sin (z)$
  5. 早期暗能量参数化$$w_{\text{EDE}}(a)=-1+{[1-\frac{w_0}{1+w_0}{a}^C]}^{-1}$$
  6. 局部结构参数化$$w=w_0+A(\ln a-\lambda {)}^3\exp (-(\ln a-\lambda {)}^4/d)$$

• 常用程序： COSMOMC

  包含两大部分：

  1. CAMB：理论模型的数值计算
  2. MCMC：用实验观测数据限制理论模型（随机游走计算 ${\chi }^2$）

超新星观测和标准烛光

超新星分类

Supernova

• Type I ：无氢线
  • Ia 型：强硅线，来自碳氧白矮星热核爆炸（质量达到钱德拉塞卡极限 $1.4M_{\odot }$）
  • Ib/Ic 型：无硅线，来自大质量星铁核塌缩，丢失氢包层（Ib）或氢氦包层（Ic）
• Type II ：有氢线，来自大质量星（$>8M_{\odot }$）铁核塌缩

标准烛光

Ia 型超新星的临界质量是一定的，故认为所有 Ia 型超新星爆发时释放的能量是相同的，使得 Ia 型超新星成为理想的标准烛光。

两个经验关系：

1. Phillips 关系：越亮的超新星的光变曲线越宽
2. 越亮的超新星光学颜色越蓝

两个光学参数：拉伸参数 $s$ 和颜色参数 $C$

$$m_{\text{corr}}=m+\alpha (s-1)-\beta C$$

中微子物理

• 中微子性质：

  Neutrino 电中性轻子，有三种 $(v_e,v_{\mu },v_{\tau })$ ，只参与引力相互作用和弱相互作用（热暗物质），标准模型中无质量，实验观测三种中微子总质量 $O(0.1\text{eV})$

超新星观测数据集

• Union 2.1: 580颗 $z\le 1.414$
• SNLS: 472颗 $z\le 1.4$
• JLA: 740颗 $z\le 1.3$
• Pantheon: 1048颗 $z\le 2.3$

伽马射线暴

伽马射线暴 （GRB）

以2秒为界，分长暴（大质量星塌缩）、短暴（致密天体并合）

• 火球模型：内激波产生伽马暴，外激波产生余辉

宇宙微波背景辐射观测

Cosmic Microwave Background (CMB)

CMB 基本概念和性质

1. CMB 是热大爆炸宇宙学的预言。在重合成时期，宇宙温度降至约 $3000K$ ，电子和质子结合形成中性氢，光子开始自由传播，随着宇宙膨胀冷却，形成CMB

2. 基本性质：

   • 黑体谱：近乎完美的黑体谱
   • 温度： $T_{\text{CMB}}=2.725\pm 0.002\text{K}(\approx -{270}^{\circ }\text{C})$
   • 光子数密度： $n_{\gamma }\approx 400{\text{cm}}^{-3}$
   • 红移与频率变化： $\nu (t)\propto \frac{1}{a(t)}$

CMB 温度涨落功率谱

定义和数学表示：

1. 球谐展开与系数 CMB的温度涨落和极化在球面上观测，通常用球谐函数展开：

• 温度涨落：

  $$\frac{\mathrm{\Delta }T}{T}(\hat{\mathbf{n}})=\sum _{\ell m}{a}_{\ell m}^T{Y}_{\ell m}(\hat{\mathbf{n}})$$

• 极化场（用斯托克斯参数 $Q,U$ 表示）可分解为E模式和B模式：

  $$(Q\pm iU)(\hat{\mathbf{n}})=\sum _{\ell m}(a_{\ell m}^E\pm i{a}_{\ell m}^B){}_{\pm 2}{Y}_{\ell m}(\hat{\mathbf{n}})$$

2. 功率谱的定义 功率谱是球谐系数的统计平均值：

• TT功率谱（温度自相关）：

  $$C_{\ell }^{TT}=⟨a_{\ell m}^T{a}_{\ell m}^{T\ast }⟩$$

• EE功率谱（E模式自相关）：

  $$C_{\ell }^{EE}=⟨a_{\ell m}^E{a}_{\ell m}^{E\ast }⟩$$

• TE功率谱（温度-E模式互相关）：

  $$C_{\ell }^{TE}=⟨a_{\ell m}^T{a}_{\ell m}^{E\ast }⟩$$

• BB功率谱（B模式自相关）：

  $$C_{\ell }^{BB}=⟨a_{\ell m}^B{a}_{\ell m}^{B\ast }⟩$$

• TB和EB功率谱：

  $$C_{\ell }^{TB}=⟨a_{\ell m}^T{a}_{\ell m}^{B\ast }⟩,C_{\ell }^{EB}=⟨a_{\ell m}^E{a}_{\ell m}^{B\ast }⟩$$

在标准宇宙学模型中（宇称守恒），TB和EB为零。

TT,EE,TE 功率谱的物理意义

1. TT（温度涨落）功率谱

• 物理来源：主要来源于原初密度扰动在光子-重子等离子体中激发的声学震荡。
• 峰值结构：
  • 第一声学峰：反映宇宙空间几何（平坦性）
  • 奇数峰高度：主要受重子物质密度影响
  • 偶数峰高度：主要受暗物质密度影响
  • 阻尼尾部（小尺度下降）：光子扩散效应（Silk阻尼）
• 观测意义：测量宇宙学基本参数（Ω_b, Ω_c, H_0, n_s等）

其中角度跟多极矩的关系为

$$\theta \approx \frac{{180}^{\circ }}{\ell }$$

2. EE（E模式极化）功率谱

• 物理来源：来源于四极矩温度各向异性的汤姆逊散射。
  • 在退耦时期，电子看到的入射光子场具有四极矩各向异性时，散射产生线偏振。
  • 四极矩由等离子体速度梯度产生。
• 峰值结构：
  • 与TT谱类似，也有声学峰结构，但相位相差约π/2。
  • 幅度比TT谱小约一个数量级（极化信号仅占CMB的~5%）。
• 观测意义：
  • 提供独立的宇宙学参数限制
  • 帮助打破参数简并
  • 检验再电离历史

3. TE（温度-极化交叉）功率谱

• 物理来源：描述温度涨落与E模式极化之间的相关性。
  • 温度涨落和极化由相同的物理过程（声学震荡）产生，因此相关。
• 特征：
  • 在声学峰位置附近正负交替（反映震荡中压缩与稀疏相位）。
  • 在大尺度上（ℓ<10）为负值，这是 Sachs-Wolfe 效应与极化产生的相位关系所致。
• 观测意义：
  • 检验理论的相干性
  • 提供对再电离光学深度的额外约束
  • 帮助分离早期与晚期时间效应

功率谱类型	物理起源	主要信息	观测特点
TT	密度扰动 → 声学震荡	宇宙几何、物质组成、原初扰动	强信号，多峰结构，阻尼尾
EE	四极矩各向异性散射	再电离历史、打破参数简并	弱信号（~5% TT），类似峰结构
TE	温度与极化的相关性	验证理论自洽性、约束τ	正负振荡，大尺度为负
BB	原初引力波（大尺度） 透镜效应（小尺度）	暴涨能量尺度、中微子质量	极弱信号，当前主要上限
TB/EB	通常为零（宇称守恒）	检验新物理（如双折射）	非零暗示对称性破坏