量子力学

绪论

光的波粒二象性

• Planck 黑体辐射

  $$\rho (\nu ,T)\mathrm{d}\nu =\frac{8\pi h}{c^3}\frac{{\nu }^3\mathrm{d}\nu }{e^{h\nu /kT}-1}$$

• 光电效应

• Compton 散射

原子结构的玻尔理论

微观粒子的波粒二象性

参考 原子物理

• 德布罗意物质波

• 电子衍射实验

• 波尔-索末菲量子化条件

$$\oint p\mathrm{d}q=(n+\frac{1}{2})h$$

波函数和 Schrodinger 方程

波函数的统计解释

• de Broglie 波

$$\phi (\mathit{r},t)=A{e}^{\frac{i}{\hslash }(\mathit{p}\cdot \mathit{r}-Et)}$$

态叠加原理

• 量子力学原理1：量子体系的状态完全由波函数描述，波函数满足态叠加原理。

• 动量波函数 $c(\mathit{p})$ & 波函数 $\mathrm{\Psi }(\mathit{r})$:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Psi }(\mathit{r})& =\int c(\mathit{p}){\psi }_p(\mathit{r})\mathrm{d}\mathit{p}\\ & =\frac{1}{(2\pi \hslash {)}^{3/2}}{\iiint }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}c(\mathit{p})e^{i\mathit{p}\cdot \mathit{r}/\hslash }\mathrm{d}{p}_x\mathrm{d}{p}_y\mathrm{d}{p}_z\end{array}$$$$\begin{array}{rl}c(\mathit{p})& =\int {\psi }_p^{\ast }(\mathit{r})\mathrm{\Psi }(\mathit{r})\mathrm{d}\mathit{r}\\ & =\frac{1}{(2\pi \hslash {)}^{3/2}}{\iiint }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Psi }(\mathit{r})e^{-i\mathit{p}\cdot \mathit{r}/\hslash }\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\end{array}$$

Schrodinger 方程

• 量子力学原理2：体系状态波函数满足 Schrodinger 方程

• Schrodinger 方程

$$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)=[-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+U]\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)=\hat{H}\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)$$

• 能量算符 $\hat{E}\equiv i\hslash \frac{\partial }{\partial t}$

  动量算符 $\hat{p}\equiv -i\hslash \mathrm{\nabla },{\hat{p}}^2=-{\hslash }^2{\mathrm{\nabla }}^2$

  Hamilton 算符 $\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+U$

• 多粒子体系的 Schrodinger 方程

$$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\cdots ,{\overrightarrow{r}}_N;t)=[\sum _{i=1}^N[-\frac{{\hslash }^2}{2m_i}{\mathrm{\nabla }}_i^2+V_i({\overrightarrow{r}}_i)]+U({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\cdots ,{\overrightarrow{r}}_N)]\mathrm{\Psi }({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,\cdots ,{\overrightarrow{r}}_N;t)$$

粒子流密度和粒子数守恒定律

• 概率流密度矢量

$$\overrightarrow{J}=\frac{i\hslash }{2m}[\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Psi }}^{\ast }-{\mathrm{\Psi }}^{\ast }\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }]$$

• 波函数的标准条件：单值、有限、连续

定态 Schrodinger 方程

当外势场 $\partial U/\partial t=0$

• 定态波函数

$$\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)=\psi (\overrightarrow{r})e^{-\frac{i}{\hslash }Et}$$

• 定态 Schrodinger 方程

$${\mathrm{\nabla }}^2\psi (\overrightarrow{r})+\frac{2m}{{\hslash }^2}(E-U)\psi (\overrightarrow{r})=0$$

• 能量本征值方程

$$\hat{H}\mathrm{\Psi }=E\mathrm{\Psi }$$

一维无限深势阱

线性谐振子

• Hamilton 量

$$\begin{array}{rl}\hat{H}& =\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2\\ & =-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2\end{array}$$

• 方程

$$[\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}+\frac{2m}{{\hslash }^2}(E-\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2)]\psi (x)=0$$

令 $\xi =\alpha x$ 其中 $\alpha =\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}$

$$\frac{{\mathrm{d}}^2\psi }{\mathrm{d}{\xi }^2}+(\lambda -{\xi }^2)\psi (x)=0,\lambda =\frac{2E}{\hslash \omega }$$

• Hermitian 多项式

$$H_n(\xi )=(-1{)}^n\exp ({\xi }^2)\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{\xi }^n}\exp (-{\xi }^2)$$

递推关系

$$\frac{\mathrm{d}{H}_n}{\mathrm{d}\xi }=2n{H}_{n-1}(\xi )$$$$H_{n+1}-2\xi H_n+2n{H}_{n-1}=0$$

• 能量

$$E_n=\hslash \omega (n+\frac{1}{2}),n=0,1,2,...,m$$

• 波函数（厄密函数）

$${\mathrm{\Psi }}_n(\xi )=N_n{e}^{-\frac{{\xi }^2}{2}}{H}_n(\xi )$$$${\mathrm{\Psi }}_n(x)=N_n{e}^{-\frac{{\alpha }^2}{2}{x}^2}{H}_n(\alpha x)$$$$N_n=\sqrt{\frac{\alpha }{2^{n}n!\sqrt{\pi }}}$$

有递推关系

$$\xi {\mathrm{\Psi }}_n(\xi )=\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\mathrm{\Psi }}_{n+1}(\xi )+\sqrt{\frac{n}{2}}{\mathrm{\Psi }}_{n-1}(\xi )$$$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi }{\mathrm{\Psi }}_n(\xi )=\sqrt{\frac{n}{2}}{\mathrm{\Psi }}_{n-1}(\xi )-\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\mathrm{\Psi }}_{n+1}(\xi )$$

势垒贯穿

量子力学中的力学量

算符

• 两波函数的标积

$$(\psi ,\phi )\equiv \int {\psi }^{\ast }\phi \mathrm{d}\tau$$

• 算符 $\hat{F}$ 的复共轭算符 ${\hat{F}}^{\ast }$

  e.g. ${\hat{p}}^{\ast }=i\hslash \mathrm{\nabla }=-\hat{p}$

• 算符 $\hat{F}$ 的转置算符 $\tilde{\hat{F}}$ 定义为

  $$(\psi ,\tilde{\hat{F}}\phi )=({\phi }^{\ast },\hat{F}{\psi }^{\ast })$$

  e.g. $\widetilde{{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}}=-{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}$

• 算符 $\hat{F}$ 的厄米共轭算符 ${\hat{F}}^{†}$

  $${\hat{F}}^{†}\equiv {\tilde{\hat{F}}}^{\ast }$$
  • 幺正算符 ${\hat{F}}^{†}={\hat{F}}^{-1}$
  • 厄米算符 ${\hat{F}}^{†}=\hat{F}$

• 量子力学原理3：表示力学量的算符都是厄米算符。

动量算符和角动量算符

• 动量算符 $\hat{p}$ 的本征方程

  $$-i\hslash \mathrm{\nabla }\psi (\overrightarrow{r})=\overrightarrow{p}\psi (\overrightarrow{r})$$

  本征函数

  $${\psi }_p(\overrightarrow{r})=\frac{1}{(2\pi \hslash {)}^{3/2}}{e}^{\frac{i}{\hslash }\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{r}}$$

• 角动量算符 ${\hat{L}}_z$ 的本征方程

  $$-i\hslash \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varphi }\psi (\varphi )=l_z\psi (\varphi )$$

  本征函数

  $${\psi }_m(\varphi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{im\varphi },l_z=m\hslash ,m=0,\pm 1,\pm 2,...$$

• 算符 ${\hat{L}}^2$ 的本征方程

  $$-{\hslash }^2[\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}]Y(\theta ,\varphi )=L^{2}Y(\theta ,\varphi )$$

  本征值 $L^2=l(l+1){\hslash }^2$

  本征函数

  $$Y_{lm}(\theta ,\varphi )=(-1{)}^m{N}_{lm}{P}_l^m(\cos \theta )e^{im\varphi }$$$$l=0,1,2,...,n-1,m=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm l$$

电子在库伦场中的运动

• 本征值和本征函数

$$\hat{H}\psi =[-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }{\mathrm{\nabla }}^2-\frac{Z{e}^2}{r}]\psi =E\psi$$$$E_n=-\frac{\mu Z^2{e}^4}{2{\hslash }^2{n}^2},n=1,2,3,...$$$${\varphi }_{nlm}(r,\theta ,\varphi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\varphi )$$$$l=0,1,2,...,n-1$$$$m=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm l$$

• 能级简并度

  主量子数 $n=n_r+l+1$

  角量子数 $l=0,1,2,...,n-1$

  径向量子数 $n_r$

  对于确定的 $l$ ，磁量子数 $m=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm l$

  能级 $E_n$ 的简并度为 $\sum _{l=0}^{n-1}(2l+1)=n^2$

氢原子

参考 原子物理-氢原子

厄米算符本征函数性质

1. 正交归一性
2. 完备性

算符与力学量的关系

1. 量子力学原理三：

   量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它的本征函数 ${\phi }_n(x)$ 组成正交归一完备系。如果量子力学中的力学量 $F$ 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符 $\hat{F}$ 由经典表达式 $F(r,p)$ 中将 $p$ 换成 $\hat{p}$ 得出。

2. 量子力学原理四：

   算符 $\hat{F}$ 的本征函数为 ${\phi }_n(x)$ ，当体系处于归一化波函数

   $$\psi (x)=\sum _n{c}_n{\phi }_n(x),c_n=({\phi }_n,\psi )$$$$\psi (x)=\int c_{\lambda }{\phi }_{\lambda }(x)\mathrm{d}\lambda ,c_{\lambda }=({\phi }_{\lambda },\psi )$$

   所描述的状态时，测量力学量 $F$ 所得到的数值，必定是算符 $\hat{F}$ 的本征值 ${\lambda }_n$ 之一，测得 ${\lambda }_n$ 的几率等于 $|c_n{|}^2$ 。

3. 力学量的平均值

   $$\overline{F}=\int {\psi }^{\ast }\hat{F}\psi \mathrm{d}x=\sum _n|c_n{|}^2{F}_n,\text{or}\int \lambda |c_{\lambda }{|}^2\mathrm{d}\lambda$$

   对于任意力学量 $\hat{B}$

   $$\overline{B}=\int {\psi }^{\ast }\hat{B}\psi \mathrm{d}x=(\psi ,\hat{B}\psi )$$

算符对易关系和测不准关系

1. 算符的对易关系：

   $$[x_{\alpha },{\hat{p}}_{\beta }]=i\hslash {\delta }_{\alpha \beta }$$$$[{\hat{p}}_{\alpha },{\hat{p}}_{\beta }]=0$$$$[{\hat{L}}_x,{\hat{L}}_y]=i\hslash {\hat{L}}_z$$$$[{\hat{L}}^2,{\hat{L}}_{\alpha }]=0$$

2. 两个算符对易 $\iff$ 其本征函数系相同且完备 $\iff$ 在本征态下算符/力学量有确定的值

3. 测不准原理：

   设 $[\hat{F},\hat{G}]=i\hat{k}$ 则有

   $$\overline{(\mathrm{\Delta }\hat{F}{)}^2}\overline{(\mathrm{\Delta }\hat{G}{)}^2}\ge \frac{(\overline{k}{)}^2}{4}$$

   e.g. 坐标与动量的测不准关系

   $$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }{p}_x\ge \frac{\hslash }{2}$$

力学量的时间变化及守恒律

1. 薛定谔绘景： $\psi (x,t)$ 随时间变化， $\hat{F}(\overrightarrow{r},\hat{p})$ 不随时间变化

   $$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi (\overrightarrow{r},t)=\hat{H}\psi (\overrightarrow{r},t)$$

2. 海森堡绘景： $\psi$ 不随时间变化， $\hat{F}$ 不显含时间，但随时间变化

   $$\frac{\mathrm{d}\hat{F}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{i\hslash }[\hat{F},\hat{H}]$$

3. 如果 $\hat{F}$ 不显含时间 $t$ ，与 $\hat{H}$ 对易，则 $\frac{\mathrm{d}\hat{F}}{\mathrm{d}t}=0$ ，即力学量 $\hat{F}$ 守恒。

4. 宇称算符

   $$\hat{P}\psi (x,t)=\psi (-x,t)$$

   如果体系的 $\hat{H}$ 在空间反演下不变，则宇称算符 $\hat{P}$ 与 $\hat{H}$ 对易，进而 $P$ 为守恒量，即宇称守恒定律。

态和力学量的表象

态的表象

• 坐标表象

  ${\phi }_i(x),i=1,2,...,n$

  $\mathrm{\Psi }(x,t)=\sum c_n{\phi }_n(x)$

• Q表象

  $u_i(x),i=1,2,...,n$ （力学量Q的正交归一本征函数系）

  $\mathrm{\Psi }(x,t)=\{a_n\}$ 态矢量

Q表象下算符的矩阵表示

• 坐标表象 $\hat{F}=\hat{F}(\hat{x},{\hat{p}}_x)=\hat{F}(x,-i\hslash {\mathrm{\nabla }}_x)$

  动量表象 $\hat{F}=\hat{F}(\hat{x},{\hat{p}}_x)=\hat{F}(i\hslash {\mathrm{\nabla }}_p,p)$

  Q表象 $F_{nm}\equiv \int u_n^{\ast }(x)\hat{F}(x,-i\hslash \frac{\partial }{\partial x})u_m(x)\mathrm{d}x$

量子力学公式的矩阵表示

• 动量表象（连续谱）

  1. 期望值 $\bar{F}=\int c^{\ast }(p)\hat{F}(i\hslash {\mathrm{\nabla }}_p,p)c(p)\mathrm{d}p$

  2. 本征方程 $\hat{F}c(p)=F_{n}c(p)$

  3. Schrodinger方程 $i\hslash \frac{\partial }{\partial t}c(p,t)=\hat{H}c(p,t)=Ec(p,t)$

• Q表象（分离谱）

  1. 期望值 $\bar{F}={\mathrm{\Psi }}^{†}F\mathrm{\Psi }$

  2. 久期方程 $\text{det}(F_{mn}-\lambda {\delta }_{mn})=0$

  3. Schrodinger方程 $i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }=H\mathrm{\Psi }$

两个表象之间算符变换——幺正变换

• $\hat{Q}$ 本征函数 $\{{\psi }_n(x)\}$

  $\hat{B}$ 本征函数 $\{{\varphi }_n(x)\}$

• $\hat{B}$ 在Q表象下本征矢 $\{{\varphi }_{\beta }\}$

  $$S=({\varphi }_1{\varphi }_2...{\varphi }_{\beta })$$$$\mathrm{\Phi }=\tilde{S}\mathrm{\Psi }$$

  $S$ 为变换矩阵，幺正矩阵

• $\hat{F}$ 在B表象下为 $F^{\prime }$ ，在Q表象下 $F=S{F}^{\prime }{S}^{†}$

• Q表象波函数 $a$ 在B表象下 $b=S^{†}a$

  B表象波函数 $b$ 在Q表象下 $a=Sb$

Dirac 符号

• 右矢和左矢 $|\psi ⟩=⟨\psi {|}^{†}$, $⟨\psi |=|\psi {⟩}^{†}$

• $\{a_n\}=\{⟨n|\mathrm{\Psi }⟩\}$ 是态 $\mathrm{\Psi }$ 在Q表现中的波函数

  $\phi (x)=⟨x|\mathrm{\Psi }⟩$ 是 $\mathrm{\Psi }$ 在x表现中的波函数

• 内积 $⟨\psi |\phi ⟩\equiv (\psi ,\phi )$

  外积 $|\psi ⟩⟨\phi |=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right](b_1^{\ast }{b}_2^{\ast })=\left[\begin{array}{cc}{a}_1{b}_1^{\ast }& a_1{b}_2^{\ast }\\ a_2{b}_1^{\ast }& a_2{b}_2^{\ast }\end{array}\right]$

• $\hat{F}$ 的本征方程 $\hat{F}|\lambda ⟩=\lambda |\lambda ⟩$

• 期望值公式 $\overline{F}=⟨\psi |\hat{F}|\psi ⟩$

• Schrodinger方程 $i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi (t)⟩=\hat{H}|\psi (t)⟩$

• $\hat{F}$ 在Q表象下 $F_{mn}=⟨m|\hat{F}|n⟩$

粒子数表象

• 湮灭算符 $\hat{a}$ : $\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$

  产生算符 ${\hat{a}}^{†}$ : ${\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$

  粒子数算符 $\hat{N}={\hat{a}}^{†}\hat{a}$ : $\hat{N}|n⟩=n|n⟩$

近似方法

非简并定态微扰理论

受扰动体系能量和态矢量

$$E_n=E_n^{(0)}+H_{nn}^{\prime }+\sum _{m\ne n}\frac{|H_{mn}^{\prime }{|}^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}+\cdots$$$$|{\psi }_n⟩=|{\psi }_n^{(0)}⟩+\sum _{m\ne n}\frac{H_{mn}^{\prime }}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}|{\psi }_m^{(0)}⟩+\cdots$$$$H_{mn}^{\prime }=⟨{\psi }_m^{(0)}|{\hat{H}}^{(1)}|{\psi }_n^{(0)}⟩$$

与时间有关的微扰理论

从初态 ${\mathrm{\Phi }}_k$ 跃迁到终态 ${\mathrm{\Phi }}_m$ 概率

$$W_{k\to m}=|a_m(t){|}^2=\frac{1}{{\hslash }^2}{\left|{\int }_0^t{H}_{mk}^{\prime }{e}^{i{\omega }_{mk}{t}^{\prime }}\mathrm{d}{t}^{\prime }\right|}^2$$

其中 微扰矩阵元

$$H_{mn}^{\prime }=⟨{\psi }_m|{\hat{H}}^{\prime }(t)|{\psi }_m⟩$$

从 ${\epsilon }_n$ 跃迁到 ${\epsilon }_m$ 的 Bohr 频率

$${\omega }_{mn}=\frac{1}{\hslash }[{\epsilon }_m-{\epsilon }_n]$$

光的发射和吸收

• 爱因斯坦系数 ${\epsilon }_m>{\epsilon }_k$ ：

  自发发射系数 $A_{mk}$

  受激发射系数 $B_{mk}$

  吸收系数 $B_{km}$

$$B_{km}=B_{mk}=\frac{4{\pi }^2{e}^2}{3{\hslash }^2}|{\overrightarrow{r}}_{mk}{|}^2$$$$A_{mk}=\frac{4{\omega }_{mk}^3{e}^2}{3\hslash c^3}|{\overrightarrow{r}}_{mk}{|}^2$$

• 跃迁辐射强度$$J_{mk}=N_m\frac{4{\omega }_{mk}^4{e}^2}{3c^3}|{\overrightarrow{r}}_{mk}{|}^2$$

选择定则

• 跃迁速率 ${\varpi }_{k\to m}\propto |{\overrightarrow{r}}_{mk}{|}^2$

• 禁戒跃迁

• 选择定则：

  使 $|r_{mk}|\ne 0$

  $$\{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }l=l^{\prime }-l=\pm 1\\ \mathrm{\Delta }m=m^{\prime }-m=0,\pm 1\end{array}$$

自旋与全同粒子

电子自旋

• 波尔磁子$$M_B=\frac{e\hslash }{2\mu }\text{(SI)}=\frac{e\hslash }{2\mu c}\text{(CGS)}$$

自旋算符和自旋波函数

• 对易关系

  $$\hat{S}\times \hat{S}=i\hslash \hat{S}$$$$[{\hat{S}}_x,{\hat{S}}_y]=i\hslash {\hat{S}}_z$$

• 反对易关系

  $$\{{\hat{S}}_x,{\hat{S}}_y\}={\hat{S}}_x{\hat{S}}_y+{\hat{S}}_y{\hat{S}}_x=0$$

$${\hat{S}}_x{\hat{S}}_y=\frac{1}{2}i\hslash {\hat{S}}_z$$

• ${\hat{S}}_z$ 表象下的矩阵

  $${\hat{S}}_x=\frac{\hslash }{2}\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$$${\hat{S}}_y=\frac{\hslash }{2}\left[\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right]$$$${\hat{S}}_z=\frac{\hslash }{2}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$$

• 泡利算符 $\hat{S}=\frac{\hslash }{2}\hat{\sigma }$

• 自旋表象本征函数（自旋波函数）

  $${\chi }_{\frac{1}{2}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$$${\chi }_{-\frac{1}{2}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

简单塞曼效应

有外磁场 $B$ 时

$$E=E_{nlm}=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle E_{nl}+\frac{e\hslash B}{2\mu c}(m+1)}& \text{for}{S}_z=\frac{\hslash }{2}\\ {\displaystyle E_{nl}+\frac{e\hslash B}{2\mu c}(m-1)}& \text{for}{S}_z=-\frac{\hslash }{2}\end{array}$$

角动量耦合

• 无耦合表象：

  $$|j_1,m_1⟩|j_2,m_2⟩\equiv |j_1,m_1,j_2,m_2⟩$$

• 耦合表象：

  $$|j_1,j_2,j,m⟩$$$${\hat{J}}^2|j_1,j_2,j,m⟩=j(j+1){\hslash }^2|j_1,j_2,j,m⟩$$$${\hat{J}}_z|j_1,j_2,j,m⟩=m\hslash |j_1,j_2,j,m⟩$$

• 矢量耦合系数 (Clebsch-Gorldon 系数)

  $$⟨j_1,m_1,j_2,m_2|j_1,j_2,j,m⟩$$

• $j=j_1+j_2,(j_1+j_2)-1,(j_1+j_2)-2,...,|j_1-j_2|$

  $m=m_1+m_2$

光谱精细结构

1. 不考虑自旋-轨道相互作用时

   $$E_n=\frac{\mu Z^2{e}^4}{2{\hslash }^2{n}^2},n=1,2,3,...$$

   电子状态由 $(n,l,m_l,m_s)$ 确定

2. 考虑自旋-轨道相互作用（精细光谱）

   $E_{nlj}^{(1)}$ 与 $m$ 无关，给定 $n,l$ 则 $j=l\pm 1/2$ ($l\ne 0$)

• 精细结构常数$$\alpha =\frac{e^2}{\hslash c}=\frac{1}{137}$$

全同粒子

全同粒子的特性

• 全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子

• 量子力学原理五（全同性原理）：全同粒子组成的体系中，二全同粒子互相替换不引起体系物理状态的改变。

• 玻色子 Boson ：自旋为 $0$ 或 $\hslash /2$ 的偶数倍 $(s=0,1,2,...)$ 的粒子，其多粒子波函数对于交换两个粒子对称。

• 费米子 Fermion ：自旋为 $\hslash /2$ 的奇数倍 $(s=1/2,3/2,...)$ 的粒子，其多粒子波函数对于交换两个粒子反对称。

全同粒子体系波函数

• 两个粒子分别满足

  $${\hat{H}}_0(q_n){\phi }_i(q_n)={\epsilon }_i{\phi }_i(q_n)$$

  单粒子能量 ${\epsilon }_i$ ，对应波函数 ${\phi }_i(q_n)(n=1,2)$

  体系波函数

  $$\hat{H}\mathrm{\Phi }(q_1,q_2)=E\mathrm{\Phi }(q_1,q_2)$$

  体系能量 $E={\epsilon }_1+{\epsilon }_2$ ，体系波函数 $\mathrm{\Phi }(q_1,q_2)=\phi (q_1)\phi (q_2)$

• 对于玻色子

  $${\mathrm{\Phi }}_S(q_1,q_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}[{\phi }_i(q_1){\phi }_j(q_2)+{\phi }_j(q_1){\phi }_i(q_2)]$$

• 对于费米子

  $${\mathrm{\Phi }}_A(q_1,q_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|\begin{array}{cc}{\phi }_i(q_1)& {\phi }_i(q_2)\\ {\phi }_j(q_1)& {\phi }_j(q_2)\end{array}\right|$$$${\mathrm{\Phi }}_A(q_1,q_2,...,q_N)=\frac{1}{\sqrt{N!}}\left|\begin{array}{cccc}{\phi }_i(q_1)& {\phi }_i(q_2)& \dots & {\phi }_i(q_N)\\ {\phi }_j(q_1)& {\phi }_j(q_2)& \dots & {\phi }_j(q_N)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\phi }_k(q_1)& {\phi }_k(q_2)& \dots & {\phi }_k(q_N)\end{array}\right|$$

• Pauli 不相容原理：

  $$\mathrm{\Phi }(q_1,q_2)={\phi }_i(q_1){\phi }_i(q_2)-{\phi }_i(q_2){\phi }_i(q_1)=0$$