高能天体物理

reference: High Energy Astrophysics (3ed) by Longair M.S.

高能辐射机制

相关物理量

• 普朗克常数 $h=6.625\times {10}^{-27}\text{erg s}$

  波尔兹曼常数 $k=1.3\times {10}^{-16}\text{erg/K}$

• 流量 Flux

  $$F=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}A\mathrm{d}t}$$

• 单色能流量 monochromatic energy flux

  $$F_{\nu }=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}A\mathrm{d}t\mathrm{d}\nu }$$

• 能流 Fluence

  $$\mathcal{F}=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}A}$$

• 方向亮度 specific intensity

  $$I_{\nu }=\frac{\mathrm{d}E}{(\cos \theta \mathrm{d}A)\mathrm{d}t\mathrm{d}\mathrm{\Omega }\mathrm{d}\nu }$$

• 净流量 Net flux (in direction $\hat{n}$)

  $$F_{\nu }=\int \mathrm{d}{F}_{\nu }=\int I_{\nu }\cos \theta \mathrm{d}\mathrm{\Omega }$$

• 净动量流量 Net momentum flux (in direction $\hat{n}$)

  $$p_{\nu }=\frac{1}{c}\int I_{\nu }{\cos }^2\theta \mathrm{d}\mathrm{\Omega }$$

  derivation

  光子动量

  $$p=\frac{h}{\lambda }=\frac{h\nu }{c}=\frac{E}{c}$$

• 辐射能量密度 radiative energy density

  $$u_{\nu }=\frac{1}{c}\int I_{\nu }\mathrm{d}\mathrm{\Omega }=\frac{4\pi }{c}{J}_{\nu }$$

  平均强度 $J_{\nu }=\frac{1}{4\pi }\int I_{\nu }\mathrm{d}\mathrm{\Omega }$

辐射转移

• 自发辐射系数 ${\epsilon }_{\nu }$: $\mathrm{d}{I}_{\nu }={\epsilon }_{\nu }\mathrm{d}x$

• 吸收系数 ${\alpha }_{\nu }$: $\mathrm{d}{I}_{\nu }=-{\alpha }_{\nu }{I}_{\nu }\mathrm{d}x$

  • 物质中粒子吸收截面 ${\sigma }_{\nu }$ ，粒子数密度 $n$，吸收系数 ${\alpha }_{\nu }=n{\sigma }_{\nu }$

• 辐射转移方程

  $$\frac{\mathrm{d}{I}_{\nu }}{\mathrm{d}x}=-{\alpha }_{\nu }{I}_{\nu }+{\epsilon }_{\nu }$$

• 光深 ${\tau }_{\nu }$: $\mathrm{d}{\tau }_{\nu }={\alpha }_{\nu }\mathrm{d}x$, ${\tau }_{\nu }={\int }_0^x{\alpha }_{\nu }(x^{\prime })\mathrm{d}{x}^{\prime }$

  • ${\tau }_{\nu }>1$ 光学厚，对辐射不透明
  • ${\tau }_{\nu }<1$ 光学薄，对辐射透明
  • 平均自由程 Mean free path $l_{\nu }=\frac{1}{n{\sigma }_{\nu }}$

• 源函数

  $$S_{\nu }\equiv \frac{{\epsilon }_{\nu }}{{\alpha }_{\nu }}$$

  若源函数为常数，辐射强度会趋于源函数

  $$I_{\nu }({\tau }_{\nu })=S_{\nu }+e^{-{\tau }_{\nu }}[I_{\nu }(0)-S_{\nu }]$$

  derivation

  $$\frac{\mathrm{d}{I}_{\nu }}{\mathrm{d}x}=-{\alpha }_{\nu }{I}_{\nu }+{\epsilon }_{\nu }$$$$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}{I}_{\nu }}{\mathrm{d}{\tau }_{\nu }}=-I_{\nu }+\frac{{\epsilon }_{\nu }}{{\alpha }_{\nu }}=S_{\nu }-I_{\nu }$$$$\Rightarrow (\frac{\mathrm{d}{I}_{\nu }}{\mathrm{d}{\tau }_{\nu }}+I_{\nu })e^{{\tau }_{\nu }}=e^{{\tau }_{\nu }}{S}_{\nu }$$$$\Rightarrow I_{\nu }({\tau }_{\nu })=I_{\nu }(0)e^{-{\tau }_{\nu }}+e^{-{\tau }_{\nu }}{\int }_0^{{\tau }_{\nu }}{e}^{{\tau }_{\nu }^{\prime }}S({\tau }_{\nu }^{\prime })\mathrm{d}{\tau }_{\nu }^{\prime }$$$$\Rightarrow I_{\nu }({\tau }_{\nu })=S_{\nu }+e^{-{\tau }_{\nu }}[I_{\nu }(0)-S_{\nu }]$$

黑体辐射

热平衡、光学厚、完全吸收（吸收=发射）

详见光学-热辐射

• 亮温度 Brightness temperature$$I_{\nu }=B_{\nu }(T_b)$$
• 色温度 Color temperature$$h{\nu }_{\text{max}}=2.82k{T}_c$$
• 有效温度 Effective temperature$$F=\sigma T_{\text{eff}}^4$$

轫致辐射

加速带电粒子电磁辐射

• Energy flux, Poynting vector

  $$-\left(\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}A\mathrm{d}t}\right)=S=\frac{|\ddot{p}{|}^2{\sin }^2\theta }{16{\pi }^2{\epsilon }_0{c}^3{r}^2}$$

• Energy loss per solid angle

  $$-\left(\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}\right)=\frac{|\ddot{p}{|}^2{\sin }^2\theta }{16{\pi }^2{\epsilon }_0{c}^3}(\text{using }\mathrm{d}\mathrm{\Omega }=\frac{\mathrm{d}A}{r^2})$$

• 拉莫方程

  $$-\left(\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}\right)=\frac{|\ddot{p}{|}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$$

derivation

$E_r$ 不变，由几何关系导出 $E_{\theta }$

$$E_{\theta }=\frac{qa\sin \theta }{4\pi {\epsilon }_0{c}^{2}r}=\frac{|\ddot{p}|\sin \theta }{4\pi {\epsilon }_0{c}^{2}r}$$

Poynting vector

$$|\overrightarrow{S}|=|\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}|=EH=E\frac{B}{{\mu }_0}=\frac{E^2}{c{\mu }_0}$$

当 $r\gg 1$ 时，$E\sim E_{\theta }$

$$S=\frac{1}{c{\mu }_0}\frac{|\ddot{p}{|}^2{\sin }^2\theta }{16{\pi }^2{\epsilon }_0^2{c}^4{r}^2}=\frac{|\ddot{p}{|}^2{\sin }^2\theta }{16{\pi }^2{\epsilon }_0{c}^3{r}^2}$$

注

只能在电子共动系中使用，注意坐标系转换

Parseval’s theorem

$\dot{\overrightarrow{v}}(t)\to \dot{\overrightarrow{v}}(\omega )$

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}-\left(\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}\right)\mathrm{d}t& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}|\dot{\overrightarrow{v}}(t){|}^2\mathrm{d}t\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}|\dot{\overrightarrow{v}}(\omega ){|}^2\mathrm{d}\omega \end{array}$$

total emitted radiation

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}I(\omega )\mathrm{d}\omega ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^2}{3\pi {\epsilon }_0{c}^3}|\dot{\overrightarrow{v}}(\omega ){|}^2\mathrm{d}\omega$$

Parseval's theorem

$$I(\omega )=\frac{e^2}{3\pi {\epsilon }_0{c}^3}|\dot{\overrightarrow{v}}(\omega ){|}^2$$

单电子轫致辐射

• 轫致辐射 Bremsstrahlung radiation

  刹车辐射 braking radiation

  自由-自由辐射 free-free radiation

• 辐射能谱

  $$\begin{array}{rl}I(\omega )& =\frac{e^2}{3\pi {\epsilon }_0{c}^3}[|a_{\parallel }(\omega ){|}^2+|a_{\perp }(\omega ){|}^2]\\ & =\frac{Z^2{e}^6}{24{\pi }^4{\epsilon }_0^3{c}^3{m}_e^2{v}^2}\frac{{\omega }^2}{{\gamma }^2{v}^2}[\frac{1}{{\gamma }^2}{K}_0^2\left(\frac{\omega b}{\gamma v}\right)+K_1^2\left(\frac{\omega b}{\gamma v}\right)]\\ & =\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{Z^2{e}^6}{48{\pi }^3{\epsilon }_0^3{c}^3{m}_e^2{v}^2}}{\displaystyle \frac{\omega }{\gamma vb}}[{\displaystyle \frac{1}{{\gamma }^2}}+1]\exp (-{\displaystyle \frac{2\omega b}{\gamma v}})& \text{if }\omega \gg {\displaystyle \frac{\gamma v}{b}}\\ {\displaystyle \frac{Z^2{e}^6}{24{\pi }^4{\epsilon }_0^3{c}^3{m}_e^2{v}^2}}{\displaystyle \frac{1}{b^2}}[1+{\displaystyle \frac{1}{{\gamma }^2}}{\left({\displaystyle \frac{\omega b}{\gamma v}}\right)}^2{\ln }^2\left({\displaystyle \frac{\omega b}{\gamma v}}\right)]& \text{if }\omega \ll {\displaystyle \frac{\gamma v}{b}}\end{array}\end{array}$$

  where $K_0$ and $K_1$ are modified Bessel functions of order zero and one.

  

derivation

$a_{\parallel }={\dot{v}}_x,a_{\perp }={\dot{v}}_z$ 傅里叶变换后代入 Parseval's theorem.

热轫致辐射

• 热等离子体：完全电离、热平衡、光学薄、非相对论性

• 将单电子轫致辐射能谱积分

  $$\begin{array}{rl}I& =\int N_e(T,\nu )I_e(\omega )\mathrm{d}\nu \mathrm{d}b\\ & \propto \frac{Z^{2}N{N}_e}{\sqrt{T}}\exp (-\frac{\hslash \omega }{kT})g(\omega ,T)\end{array}$$

  $N_e(T,\nu )$ ：热平衡下电子的 Maxwell 速度分布；

  $I_e(\omega )$ ：单个电子的轫致辐射能谱

  $\mathrm{d}b$ ：对作用距离积分

  

非热轫致辐射

• 等离子体外电子
• 极端相对论电子，幂率分布

同步辐射

电子在磁场中运动

• 电子在洛伦兹力下动量变化

  $$\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{p}}{\mathrm{d}t}=\gamma m_e\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}=-e(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})$$

• 回旋频率

  $${\omega }_g=\frac{eB}{\gamma m_e}=2\pi {\nu }_g$$

• 能量损失率

  $$-\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=2{\sigma }_{T}c{U}_B{\beta }^2{\gamma }^2{\sin }^2\theta$$

  Thomson 散射截面 ${\sigma }_T={\displaystyle \frac{q^4}{6\pi {\epsilon }_0^2{c}^4{m}_e^2}}$

  磁场能量密度 $U_B={\displaystyle \frac{B^2}{2{\mu }_0}}$

  

  derivation

  观测系电磁场，洛伦兹变化到电子系，再用拉莫方程可得。

• 电子冷却时间

  $$\tau =\frac{E}{|\mathrm{d}E/\mathrm{d}t|}\propto \frac{1}{B^2{\beta }^2\gamma }$$

回旋辐射

• 低速条件下 $v\ll c,\gamma =1$

• 相当一个电偶极辐射

• 辐射率

  $$-\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{2{\sigma }_T}{c}{U}_B{v}^2{\sin }^2\theta$$

中等相对论电子

• 相对论集束效应
• 相对论多普勒效应
• 周期性脉冲形式

单电子同步辐射

• 集束效应：辐射集中在张角 $1/\gamma$ 锥内

  derivation

  电子系速度经过洛伦兹变化到观测系，得到观测系张角

  $$\tan \theta =\frac{u_y}{u_x}=\frac{u^{\prime }\sin {\theta }^{\prime }}{\gamma (u^{\prime }\cos {\theta }^{\prime }+v)}=\frac{\sin {\theta }^{\prime }}{\gamma (\cos {\theta }^{\prime }+\beta )}$$

  取 ${\theta }^{\prime }=\pi /2$ 得到观测系的辐射张角

  $$\tan \theta =\frac{1}{\gamma \beta }$$$$\theta \sim \tan \theta =\frac{1}{\gamma }$$

• 多普勒效应：脉冲宽度

  $$\mathrm{\Delta }t\approx \frac{1}{{\gamma }^3{\omega }_g}=\frac{1}{{\gamma }^2{\omega }_{cycl}}$$

  derivation

  

  $$\mathrm{\Delta }t=\frac{\mathrm{\Delta }L}{c}=\frac{L^{\prime }-L}{c}=\frac{L}{v}-\frac{L}{c}=\frac{L}{v}(1-\beta )$$$$\frac{L}{v}=\frac{\theta }{{\omega }_g}=\frac{2}{\gamma {\omega }_g}=\frac{2}{{\omega }_{cycl}}$$$$1-\beta =\frac{1-{\beta }^2}{1+\beta }=\frac{1}{{\gamma }^2}\frac{1}{1+\beta }\approx \frac{1}{2{\gamma }^2}$$

• 单电子同步辐射能谱

  

• 截断频率

  $${\nu }_c\approx \frac{1}{\mathrm{\Delta }t}\approx {\gamma }^2{\nu }_{cycl}\approx {\gamma }^3{\nu }_g$$

非热同步辐射

• 电子数幂律分布

  $$N(E)\mathrm{d}E\propto E^{-p}\mathrm{d}E$$

• 辐射谱也幂律分布

  $$J(\omega )\propto {\omega }^{-\frac{p-1}{2}}={\omega }^{-\alpha }$$

  

  derivation

  $$\omega \propto E^2,N\propto E^{-p}$$$$J\sim N\cdot E=E^{-(p-1)}={\omega }^{-\frac{p-1}{2}}$$

同步辐射自吸收

• 低能端，等离子体光学厚，R-J近似

  $$I_{\nu }=\frac{2k{T}_e}{c^2}{\nu }^2\propto {\nu }^{5/2}$$

  电子温度 $k{T}_e=E=\gamma m{c}^2$ ，吸收光子 $\nu \approx {\nu }_c\propto {\gamma }^2\propto T_e^2$

• 能谱

  

同步辐射的偏振

• 平均的同步辐射在观测面上呈现线偏振，方向跟磁场在观测面上的投影垂直。

  $$\overrightarrow{E}\parallel \overrightarrow{a}\propto -(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})$$

逆康普顿散射

汤姆孙散射

• 低能光子+低能电子，光子能量不变，弹性散射

• 电子产生总辐射强度

  $$-{\left(\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}\right)}_{\text{tot}}=\frac{e^4}{16{\pi }^2{m}_e^2{\epsilon }_0^2{c}^4}(1+{\cos }^2\alpha )\frac{S}{2}$$

  $\alpha$ 是光子的散射角（散射方向与入射方向夹角）

  derivation

  $$-{\left(\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}\right)}_y=\frac{e^4|E_y{|}^2{\sin }^2\theta }{16{\pi }^2{m}_e^2{\epsilon }_0{c}^3}=\frac{e^4{S}_y}{16{\pi }^2{m}_e^2{\epsilon }_0^2{c}^4}$$$$-{\left(\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}\right)}_x=\frac{e^4|E_x{|}^2{\sin }^2\theta }{16{\pi }^2{m}_e^2{\epsilon }_0{c}^3}=\frac{e^4{S}_x{\cos }^2\alpha }{16{\pi }^2{m}_e^2{\epsilon }_0^2{c}^4}$$$$-{\left(\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}\right)}_{\text{tot}}=-{\left(\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}\right)}_x-{\left(\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}\right)}_y$$

• 汤姆孙散射截面

  $$\frac{\mathrm{d}{\sigma }_T}{\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}=-\left(\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}\right)\frac{1}{S}=\frac{r_e^2}{2}(1+{\cos }^2\alpha ),r_e=\frac{e^2}{4\pi m_e{\epsilon }_0{c}^2}$$$${\sigma }_T=\frac{8\pi }{3}{r}_e^2$$

• 偏振（x，y分量）

康普顿散射

• 高能光子+低能电子，能量：光子->电子

• 光子波长

  $$\mathrm{\Delta }\lambda ={\lambda }_C(1-\cos \theta )$$$${\lambda }_C=\frac{h}{m_{e}c}=2.43\times {10}^{-12}m$$

逆康普顿散射

• 光子+高能电子，能量：电子动能->光子

• 电子能量损失率

  $$-{\left(\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}\right)}_{IC}=\frac{4}{3}{\sigma }_{T}c{U}_{rad}{\beta }^2{\gamma }^2$$

  $U_{rad}$ 为辐射场能量密度。

康普顿化

• 热轫致辐射的康普顿化

• 黑体辐射的康普顿化 Sunyaev-Zel'dovich effect （用于测量星系团距离、尺度）

• 同步自康普顿散射

银河系内的高能天体物理

星际介质

星际介质对X射线的吸收

• 吸收

  $$I_{\text{obs}}(E)=e^{-{\sigma }_{\text{ISM}}(E)N_H}{I}_{\text{src}}(E)$$

  $N_H$ 氢柱密度 (${\text{atom cm}}^{-2}$)

• 吸收截面 ${\sigma }_{\text{ISM}}={\sigma }_{\text{gas}}+{\sigma }_{\text{grains}}+{\sigma }_{\text{molecules}}$

  • ${\displaystyle {\sigma }_{\text{gas}}=\sum _{Z,i}{A}_Z\times a_{Z,i}\times (1-{\beta }_{Z,i})\times {\sigma }_{bf}(Z,i)}$

    $A_Z=N(Z)/N(H)$ 元素 $Z$ 的相对丰度

    $a_{Z,i}=N(Z,i)/N(Z)$ 原子处于电离态 $i$ 的几率

    $1-{\beta }_{Z,i}$ 尘埃消耗系数，多少元素分布在气体中

    ${\sigma }_{bf}(Z,i)$ 光电吸收截面 $\sigma \propto E^{-3.5}$

  • ${\sigma }_{\text{grains}}$ 考虑尘埃颗粒尺寸分布、形状、自遮挡等

  • ${\sigma }_{\text{molecules}}=A_{H_2}\times {\sigma }_{bf}(H_2)\sim 2.85{\sigma }_H$ 仅考虑氢分子

星际尘埃对X射线的散射

• 微分散射截面

  $$\frac{\mathrm{d}{\sigma }_{sca}(a,E,{\theta }_{sca})}{\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}\sim e^{-0.46E^2{a}^2{\theta }_{sca}^2}$$

  总散射截面

  $${\sigma }_{sca}\sim E^{-2}$$

  对于能量为 $E$ 的光子，典型散射角为

  $${\theta }_{sca}\sim \frac{1}{Ea}\propto E^{-1}$$

• 散射时间延迟测距

  $$\mathrm{\Delta }t=\frac{D}{c}\frac{x\theta {\theta }_{sca}}{1-x}$$

  derivation

  小角近似

  $$\theta \approx {\theta }_{sca}(1-x)$$$$t_1=D/c$$$$t_2=(D+xD\theta {\theta }_{sca})/c$$

恒星

• 太阳（GKM晚型星）：

  • 日冕：等离子体 热轫致辐射+发射线
  • 耀斑：磁重联 非热轫致辐射

• 早型星（O/B）：

  • 星风、激波

超新星和超新星遗迹

Supernovae (SNe)

Supernova Remnants (SNRs)

Appendix 2: Distances in astronomy

• Parallaxes
• The relation between the pulsation periods of Cepheid variables and their intrinsic luminosities
• Velocity-distance relation for galaxies (Hubble)
• Baade-Wesselink method: obtain angular size $\mathrm{\Delta }\theta$ using the Stefan-Boltzmann law and physical size $(d_2-d_1)$ using the expansion of the shell $v$, then distance $r=d/\mathrm{\Delta }\theta$
• Gravitational lenses