近世代数

群论是在19世纪初期为了解决一般五次方程的根式解，由伽罗瓦创立的理论。对于2,3,4次方程都有求根公式，但对于5次及以上次数的方程没有根式解，下面是相关的简述，主要参考：《抽象代数基础教程》（Joseph J. Rotman）

经典公式

二次方程

我们熟知用配方法得到二次方程的求根公式

$$\begin{array}{rl}{x}^2+bx+c& =x^2+bx+\frac{1}{4}{b}^2+c-\frac{1}{4}{b}^2\\ & ={(x+\frac{1}{2}b)}^2+\frac{1}{4}(4c-b^2)\end{array}$$

下面有一个不同的推导方法，从将给定的多项式化简开始。

定义

若一个 $n$ 次多项式 $f(x)\in \mathbb{R}[x]$ 没有 $x^{n-1}$ 项，则称为是简化的。

化简方式：

对于多项式 $f(X)=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+h(X)$ ，其中 $\mathrm{deg}(h)\le n-2$ ，作替换 $X=x-\frac{1}{n}{a}_{n-1}$ ，有

$$\begin{array}{rl}{f}^{\ast }(x)& =f(x-\frac{1}{n}{a}_{n-1})\\ & ={(x-\frac{1}{n}{a}_{n-1})}^n+a_{n-1}{(x-\frac{1}{n}{a}_{n-1})}^{n-1}+h(x-\frac{1}{n}{a}_{n-1})\\ & =(x^n-a_{n-1}{x}^{n-1}+g_1(x))+a_{n-1}(x^{n-1}+g_2(x))+h(x-\frac{1}{n}{a}_{n-1})\\ & =x^n+g_1(x)+a_{n-1}{g}_2(x)+h(x-\frac{1}{n}{a}_{n-1})\end{array}$$

可见 $f^{\ast }(x)$ 为简化的。

对一般二次多项式 $f(X)=X^2+bX+c$ 化简有

$$\begin{array}{rl}{f}^{\ast }(x)& ={(x-\frac{1}{2}b)}^2+b(x-\frac{1}{2}b)+c\\ & =x^2-\frac{1}{4}(b^2-4c)\end{array}$$

所以 $f^{\ast }(x)$ 的根为 $u=\pm \frac{1}{2}\sqrt{b^2-4c}$ ，原多项式的根为 $u-\frac{1}{2}b$ 即

$$U=\frac{1}{2}(-b\pm \sqrt{b^2-4c})$$

三次方程

我们考虑简化的三次多项式 $x^3+qx+r$ 的根（卡尔达诺公式）

$$\alpha +\beta ,\omega \alpha +{\omega }^2\beta ,{\omega }^2\alpha +\omega \beta$$

其中

$${\alpha }^3=\frac{1}{2}(-r+\sqrt{D}),\beta =-\frac{q}{3\alpha },D=r^2+\frac{4}{27}{q}^3,\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

proof idea:

记一根 $u=\alpha +\beta$ 引入 $\alpha \beta =-q/3$ 得到 ${\alpha }^3$ 的二次方程

例子

下面例子说明了三次公式为什么很少使用，尽管它的确给出了三次方程的根，但它给出的形式是不可辨认的。

对于 $x^3-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)$

带入求根公式：$q=-7,r=6,D=-400/27$

$${\alpha }^3=\frac{1}{2}(-6+\sqrt{\frac{-400}{27}}),{\beta }^3=\frac{1}{2}(-6-\sqrt{\frac{-400}{27}})$$

即

$$\omega \sqrt[3]{\frac{1}{2}(-6+\sqrt{\frac{-400}{27}})}+{\omega }^2\sqrt[3]{\frac{1}{2}(-6-\sqrt{\frac{-400}{27}})}$$

等于 $1,2,-3$ 中的某一个数。

四次方程

笛卡尔给出了四次方程求根的方式，同样考虑简化的四次多项式 $x^4+q{x}^2+rx+s$

分解为 $(x^2+jx+l)(x^2-jx+m)$

进而得到 $j^2$ 的三次方程 $j^6+2q{j}^4+(q^2-4s)j^2-r^2=0$

用三次方程求根公式可解。

一般五次方程的不可解性

证明方程无根式解的主要逻辑为：

1. 用 $k$ 上分裂域 $E$ 的子域的语言来叙述多项式根式解公式
2. 若 $f(x)$ 根式可解，则 $\text{Gal}(E/k)$ 是可解群
3. 次数不小于 5 的多项式有不可解的伽罗瓦群

根式可解性

定义

1. 型 $m$ 的单纯扩张是满足 $u^m\in k$ 的扩张 $k(u)/k$ ，其中 $m>1$

2. 扩张 $K/k$ 称为根式扩张若存在域塔

   $$k=K_0\subseteq K_1\subseteq \cdots \subseteq K_t=K$$

   使得每个 $K_{i+1}/K_i$ 都是单纯扩张。上式称为根式塔。

3. 设 $f(x)\in k[x]$ 有一个分裂域 $E$ 。称 $f(x)$ 是根式可解的若存在根式扩张

   $$k=K_0\subseteq K_1\subseteq \cdots \subseteq K_t$$

   使得 $E\subseteq K_t$

• 对于二次多项式

  $f(x)=x^2+bx+c\in \mathbb{Q}[x]$ 定义 $K_1=\mathbb{Q}(u),u=\sqrt{b^2-4c}$ ， $K_1/\mathbb{Q}$ 为根式扩张，因为 $u^2\in \mathbb{Q}$

• 三次多项式

  一个 $\mathbb{Q}[x]$ 中不可约的三次多项式，其所有根都是实数，即分裂域 $E=\mathbb{R}$ ，但其根式解需要复数，即根式扩张 $K_t/\mathbb{Q}⊈\mathbb{R}$

  所以根式可解的定义要求 $E\subseteq K_t$

• 反过来，若 $f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ 根式可解，则有一个

  $$\mathbb{Q}=K_0\subseteq K_1\subseteq \cdots \subseteq K_t$$

  使得 $E\subseteq K_t$ 的根式扩张。设 $z$ 为 $f(x)$ 的一个根，又 $K_t=K_{t-1}(u)$ ，其中 $u$ 为 $K_{t-1}$ 中某个元素 $a\in K_{t-1}$ 的 $m$ 次根。因此 $z$ 可以用 $\sqrt[m]{a}$ 及 $K_{t-1}$ 中的元素表示。最终 $z$ 可以用一个类似经典公式的公式表示。

伽罗瓦群和可解群

定义

设 $k$ 为域 $E$ 的一个子域。 $E$ 在 $k$ 上的伽罗瓦群，记为 $\text{Gal}(E/k)$ ，就是所有的 $E$ 的固定 $k$ 的自同构组成的集合。若 $f(x)\in k[x]$ ， $E=k(z_1,\cdots ,z_n)$ 为它的一个分裂域，则 $f(x)$ 在 $k$ 上的伽罗瓦群就规定为 $\text{Gal}(E/k)$

若 $f(x)\in k[x]$ 的次数为 $n$ ，则它的伽罗瓦群 $\text{Gal}(E/k)$ 同构于 $S_n$ 的一个子群。

定义

群 $G$ 的正规子群列指的是如下形式的子群列

$$G=G_0⊳G_1⊳G_2⊳\cdots ⊳G_t=\{1\}$$

此子群列的商群是

$$G_0/G_1,G_1/G_2,\cdots ,G_{t-1}/G_t$$

群 $G$ 称为可解的，若 $G$ 有一个使每个商群的阶均为素数的正规子群列。

1. $S_4$ 是可解的，因为 $S_4⊳A_4⊳V_4⊳W⊳\{1\}$
2. 每个有限阿贝尔群可解
3. 每个非阿贝尔的单群不可解
4. $S_n,n\ge 5$ 不可解

（伽罗瓦）

定理：$f(x)\in k[x]$ 是根式可解的，则它的伽罗瓦群 $\text{Gal}(E/k)$ 是一个可解群

（阿贝尔）

若多项式 $f(x)$ 的伽罗瓦群是交换群，则 $f(x)$ 是根式可解的

（阿贝尔-鲁费尼）

对所有的 $n\ge 5$ ，一般的 $n$ 次多项式

$$f(x)=(x-y_1)(x-y_2)\cdots (x-y_n)$$

不是根式可解的。