概统相关结论以及推导

变量分布

各种分布

离散：

分布	概率	记号
二项分布	$P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$	$X\sim B(n,p)$
几何分布	$P(X=k)=p(1-p{)}^{k-1}$	$X\sim G(p)$
超几何分布	$P(X=k)={\displaystyle \frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}}$	$X\sim H(n,M,N)$
泊松分布	$P(X=k)={\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}}{e}^{-\lambda }$	$X\sim \pi (\lambda )$

连续：

分布	概率	记号
均匀分布	$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{b-a}}& a\le x\le b\\ 0& other\end{array}$	$X\sim U(a,b)$
指数分布	$\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}\\ f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{\theta }}{e}^{-\frac{1}{\theta }x}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}\end{array}$	$\begin{array}{c}X\sim Exp(\lambda )\\ X\sim Exp(\theta )\end{array}$
正态分布	$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }}{e}^{-{\displaystyle \frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}}$	$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$

一般与标准正态分布的转换

1. 称 $N(0,1)$ 为标准正态分布，当随机变量 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ ，则 ${\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}\sim N(0,1)$ ；

2. 记标准正态分布的分布函数为 ${\displaystyle \mathrm{\Phi }(x):={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x}$ ，则变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=\mathrm{\Phi }({\displaystyle \frac{x-\mu }{\sigma }})$

推导

1. 由 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 知在 $X=x$ 处概率为 $f(x)\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }}{e}^{-{\displaystyle \frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}}\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{e}^{-{\displaystyle \frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}}\mathrm{d}\left({\displaystyle \frac{x-\mu }{\sigma }}\right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{e}^{-{\displaystyle \frac{t^2}{2}}}\mathrm{d}t$ ， 所以变量 $t={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}\sim N(0,1)$ ；

$$\begin{array}{rl}F(x)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }}{e}^{-{\displaystyle \frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}}\mathrm{d}x={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{e}^{-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{x-\mu }{\sigma }}\right)}^2}\mathrm{d}\left({\displaystyle \frac{x-\mu }{\sigma }}\right)\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{e}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t=\mathrm{\Phi }({\displaystyle \frac{x-\mu }{\sigma }})\end{array}$$

二维分布

1. 二维均匀分布

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{S}}& (x,y)\in D\\ 0& other\end{array}$$

2. 二维正态分布

$$f(x,y)={\displaystyle \frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}}{e}^{-{\displaystyle \frac{1}{2(1-{\rho }^2)}}[{\displaystyle \frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}}-{\displaystyle \frac{2\rho (x-{\mu }_1)(x-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}}+{\displaystyle \frac{(x-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}}]}$$

可记为 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho )$

随机变量函数的分布

变量 $(X,Y)$ 的联合分布概率密度函数为 $f(x,y)$ ，分布函数为 $F(x,y)$ 。

1. 变量和 $Z=X+Y$ 的分布：

$$\begin{array}{rl}{f}_Z(z)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,z-x)\mathrm{d}x={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(z-y,y)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_X(x)f_Y(z-x)\mathrm{d}x={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_X(z-y)f_Y(y)\mathrm{d}y\end{array}$$

推导

$$\begin{array}{rl}{F}_Z(z)& =P(Z\le z)=P(X+Y\le z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{z-x}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}x{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{z}f(x,u-x)\mathrm{d}u(u=x+y)\end{array}$$

故

$$f_Z(z)={\displaystyle \frac{\mathrm{d}{F}_Z(z)}{\mathrm{d}z}}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,z-x)\mathrm{d}x$$

同理可得

$$f_Z(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(z-y,y)\mathrm{d}y$$

2. 变量商 $Z={\displaystyle \frac{X}{Y}}$ 的分布：

$$\begin{array}{rl}{f}_Z(z)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|y|f(yz,y)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|y|f_X(yz)f_Y(y)\mathrm{d}y\end{array}$$

推导

$$\begin{array}{rl}{F}_Z(z)& =P({\displaystyle \frac{X}{Y}}\le z)=P(X\le zY,Y>0)+P(X\ge zY,Y<0)\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}y{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{zy}f(x,y)\mathrm{d}x+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^0\mathrm{d}y{\int }_{zy}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathrm{d}x\end{array}$$$$\begin{array}{rl}{f}_Z(z)& ={\displaystyle \frac{\mathrm{d}{F}_Z(z)}{\mathrm{d}z}}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}yf(yz,y)\mathrm{d}y+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^0-yf(yz,y)\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|y|f(yz,y)\mathrm{d}y\end{array}$$

3. 变量极值 $Z=max(X,Y),Z=min(X,Y)$ 的分布

$$\begin{array}{rl}{F}_{max}(z)& =F_X(z)F_Y(z)\\ F_{min}(z)& =1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]\end{array}$$

推导

$$\begin{array}{rl}{F}_{max}(z)& =P(max(X,Y)\le z)=P((X\le z)\cap (Y\le z))\\ & =P(X\le z)P(Y\le z)=F_X(z)F_Y(z)\end{array}$$$$\begin{array}{rl}{F}_{min}(z)& =P(min(X,Y)\le z)=P((X\le z)\cup (Y\le z))\\ & =1-P((X\ge z)\cap (Y\ge z))=1-P(X\ge z)P(Y\ge z)\\ & =1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]\end{array}$$

4. 多个正态分布的线性组合的分布：

若变量 $X_k\sim N({\mu }_k,{\sigma }_k^2)$ ，$Z=\sum _{k=1}^n{a}_k{X}_k$ ， 则

$$Z\sim N(\sum _{k=1}^n{a}_k{\mu }_k,\sum _{k=1}^n{a}_k^2{\sigma }_k^2)$$

推导

利用特征函数进行推导。

统计量

统计量	记号
期望	$E(X)$
方差	$D(X)=E[(X-E(X){)}^2]=E(X^2)-E^2(X)$
协方差	$Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)$
相关系数	${\rho }_{XY}={\displaystyle \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}}$

切比雪夫不等式

若随机变量 $X$ 已知 $E(X)=\mu$ 和 $D(X)={\sigma }^2>0$ ，则

$$P\{|X-\mu |\ge \epsilon \}\le {\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2}}$$

推导

$$\begin{array}{rl}P\{|X-\mu |\ge \epsilon \}& ={\int }_{|x-\mu |\ge \epsilon }f(x)\mathrm{d}x\\ & \le {\int }_{|x-\mu |\ge \epsilon }{\displaystyle \frac{(x-\mu {)}^2}{{\epsilon }^2}}f(x)\mathrm{d}x\\ & ={\displaystyle \frac{D(X)}{{\epsilon }^2}}={\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2}}\end{array}$$

常用分布的期望和方差

分布	参数	$E(X)$	$D(X)$
0-1分布	$p$	$p$	$p(1-p)$
二项分布	$B(n,p)$	$np$	$np(1-p)$
几何分布	$G(p)$	${\displaystyle \frac{1}{p}}$	${\displaystyle \frac{1-p}{p^2}}$
泊松分布	$\pi (\lambda )$	$\lambda$	$\lambda$
超几何分布	$H(n,M,N)$	$n{\displaystyle \frac{M}{N}}$	$n{\displaystyle \frac{M}{N}}{\displaystyle \frac{N-M}{N}}{\displaystyle \frac{N-n}{N-1}}$
均匀分布	$U(a,b)$	${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$	${\displaystyle \frac{(b-a{)}^2}{12}}$
指数分布	$\begin{array}{c}Exp(\lambda )\\ Exp(\theta )\end{array}$	$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\\ \theta \end{array}$	$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{{\lambda }^2}}\\ {\theta }^2\end{array}$
正态分布	$N(\mu ,{\sigma }^2)$	$\mu$	${\sigma }^2$

推导

1. 0-1分布：

$X$	$0$	$1$
$P(X=x_i)$	$1-p$	$p$

$E(X)=0\times (1-p)+1\times p=p$

$D(X)=(0-p{)}^2\times (1-p)+(1-p{)}^2\times p=p(1-p)$

2. 二项分布： $X\sim B(n,p)P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$

$$\begin{array}{rl}E(X)& =\sum _{i=0}^{n}i{C}_n^i{p}^i(1-p{)}^{n-i}\\ & =\sum _{i=1}^{n}n{C}_{n-1}^{i-1}{p}^{i-1+1}(1-p{)}^{n-1-(i-1)}\\ & =np\sum _{k=0}^{n-1}{C}_{n-1}^k{p}^k(1-p{)}^{n-(k+1)}(k=i-1)\\ & =np(p+(1-p){)}^{n-1}=np\end{array}$$$$\begin{array}{rl}E(X^2)& =E[X(X-1)]+E(X)=\sum _{k=0}^{n}k(k-1)C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}+np\\ & =\sum _{k=2}^{n}n(n-1)C_{n-2}^{k-2}{p}^{k-2+2}(1-p{)}^{n-2-(k-2)}+np\\ & =n(n-1)p^2\sum _{i=0}^{n-2}{C}_{n-2}^i{p}^i(1-p{)}^{n-2-1}+np=n(n-1)p^2+np\end{array}$$$$D(X)=E(X^2)-E^2(X)=np(1-p)$$

3. 几何分布： $X\sim G(p)P(X=k)=p(1-p{)}^{k-1}$ (记 $q=1-p$ )

$$\begin{array}{rl}E(X)& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}kp{q}^{k-1}=p{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^k\\ & =p{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}}{\displaystyle \frac{1}{1-q}}=p{\displaystyle \frac{1}{(1-q{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{p}}\end{array}$$$$\begin{array}{rl}E(X^2)& =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^{2}p{q}^{k-1}\\ & =p[\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}k(k-1)q^{k-1}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{q}^{k-1}]\\ & =qp{\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{q}^2}}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}{q}^k+E(X)\\ & =qp{\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{q}^2}}{\displaystyle \frac{q}{1-q}}+{\displaystyle \frac{1}{p}}\\ & ={\displaystyle \frac{2pq}{(1-q{)}^3}}+{\displaystyle \frac{1}{p}}={\displaystyle \frac{2-p}{p^2}}\end{array}$$$$D(X)=E(X^2)-E^2(X)={\displaystyle \frac{1-p}{p^2}}$$

4. 泊松分布： $X\sim \pi (\lambda )P(X=k)={\displaystyle \frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}}$

$$E(X)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k{\displaystyle \frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}}=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!}}=\lambda$$$$\begin{array}{rl}E(X^2)& =E[X(X-1)]+E(X)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k(k-1){\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}}{e}^{-\lambda }+\lambda \\ & ={\lambda }^2{e}^{-\lambda }\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\lambda }^{k-2}}{(k-2)!}}+\lambda ={\lambda }^2+\lambda \end{array}$$$$D(X)=E(X^2)-E^2(X)=\lambda$$

5. 超几何分布： $X\sim H(n,M,N)P(X=k)={\displaystyle \frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}}$

$$\begin{array}{rl}E(X)& =\sum _{k=0}^{n}k{\displaystyle \frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}}={\displaystyle \frac{nM}{N}}\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{C_{M-1}^{k-1}{C}_{N-M}^{n-k}}{C_{N-1}^{n-1}}}\\ & ={\displaystyle \frac{nM}{N}}\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{C_{M-1}^{k-1}{C}_{N-M}^{n-1-(k-1)}}{C_{N-1}^{n-1}}}={\displaystyle \frac{nM}{N}}\end{array}$$$$\begin{array}{rl}E(X^2)& =E[X(X-1)]+E(X)=\sum _{k=2}^{n}k(k-1){\displaystyle \frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}}+E(X)\\ & =\sum _{k=2}^n{\displaystyle \frac{C_M^{k-2}{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}}+E(X)\\ & ={\displaystyle \frac{n(n-1)M(M-1)}{N(N-1)}}\sum _{k=2}^n{\displaystyle \frac{C_{M-2}^{k-2}{C}_{N-M}^{n-2-(k-2)}}{C_{N-2}^{n-2}}}+E(X)\\ & ={\displaystyle \frac{nM}{N}}\left({\displaystyle \frac{N(N-n)+MN(n-1)}{N-1}}\right)\end{array}$$$$D(X)=E(X^2)-E^2(X)={\displaystyle \frac{nM}{N}}{\displaystyle \frac{N-M}{N}}{\displaystyle \frac{N-n}{N-1}}$$

6. 均匀分布： $X\sim U(a,b)$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{b-a}}& a\le x\le b\\ 0& other\end{array}$

$$E(X)={\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\left[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\right]}_{x=a}^{x=b}={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$$$$E(X^2)={\int }_a^b{x}^{2}f(x)\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\left[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}\right]}_{x=a}^{x=b}={\displaystyle \frac{a^2+ab+b^2}{3}}$$$$D(X)=E(X^2)-E^2(X)={\displaystyle \frac{(b-a{)}^2}{12}}$$

7. 指数分布： $X\sim Exp(\lambda )$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$

$$\begin{array}{rl}E(X)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\lambda e^{-\lambda x}\mathrm{d}x=-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\mathrm{d}{e}^{-\lambda x}\\ & =-x{e}^{-\lambda x}{|}_{x=0}^{x=\mathrm{\infty }}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\lambda x}\mathrm{d}x=-{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}{e}^{-\lambda x}{|}_{x=0}^{x=\mathrm{\infty }}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\end{array}$$$$\begin{array}{rl}E(X^2)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2\lambda e^{-\lambda x}\mathrm{d}x=-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2\mathrm{d}{e}^{-\lambda x}\\ & =-x^2{e}^{-\lambda x}{|}_{x=0}^{x=\mathrm{\infty }}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\lambda x}\mathrm{d}{x}^2\\ & =2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-\lambda x}\mathrm{d}x=-{\displaystyle \frac{2}{\lambda }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\mathrm{d}{e}^{-\lambda x}\\ & =-{\displaystyle \frac{2}{\lambda }}x{e}^{-\lambda x}{|}_{x=0}^{x=\mathrm{\infty }}+{\displaystyle \frac{2}{\lambda }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\lambda x}\mathrm{d}x\\ & =-{\displaystyle \frac{2}{{\lambda }^2}}{e}^{-\lambda x}{|}_{x=0}^{x=\mathrm{\infty }}={\displaystyle \frac{2}{{\lambda }^2}}\end{array}$$$$D(X)=E(X^2)-E^2(X)={\displaystyle \frac{1}{{\lambda }^2}}$$

8. 正态分布： $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }}{e}^{-{\displaystyle \frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}}$

先求出标准正态分布的期望和方差： $Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}\sim N(0,1)\phi (x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{e}^{-x^2/2}$

$$E(Z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\phi (x)\mathrm{d}x=0$$$$E(Z^2)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\phi (x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\exp (-x^2/2)\mathrm{d}x=1$$$$D(Z)=E(Z^2)-E^2(Z)=1$$

从而一般正态分布的期望和方差为：

$$E(X)=E(\sigma Z+\mu )=\sigma E(Z)+E(\mu )=\mu$$$$D(X)=D(\sigma Z+\mu )={\sigma }^{2}D(Z)+D(\mu )={\sigma }^2$$

独立性和相关性

事件AB相互独立	$P(AB)=P(A)P(B)$
离散变量XY互相独立	$P(X=x_i,Y=y_i)=P(X=x_i)P(Y=y_i)$
连续变量XY互相独立	$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

若 $Cov(X,Y)=0$ 则称变量 $X,Y$ 不相关。

二者关系

实际上不相关性是独立性的一种特殊情况，即只排除了线性关系， 而独立性则排除了所有关系。

二维正态分布

变量 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho )$ ， 其中 $\rho$ 为变量 $X,Y$ 的相关系数，当 $\rho =0$ 有 $X,Y$ 相互独立。

推导

容易验证当 $\rho =0$ 时，有 $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ 。

大数定律和中心极限定理

大数定律

设 $X_1,X_2,...$ 是独立同分布的随机变量，且 $E(X_i)=\mu ,i=1,2,...$ ， 则对于任意的 $\epsilon >0$ 有

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P(|{\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{X}_i-\mu |\ge \epsilon )=0$$

即 $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{p}{\to }\mu$

中心极限定理

设 $X_1,X_2,...$ 是独立同分布的随机变量，且 $E(X_i)=\mu ,D(X_i)={\sigma }^2,i=1,2,...$ ，则

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P({\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{X}_i-n\mu }}{\sqrt{n}\sigma }}\le x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{e}^{-t^2/2}\mathrm{d}t=\mathrm{\Phi }(x)$$

即当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，

$$Y_n={\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }}\sim N(0,1)$$$$\sum _{i=1}^n{X}_i\sim N(n\mu ,n{\sigma }^2)$$$$\bar{X}={\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n{X}_i}{n}}\sim N(\mu ,{\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{n}})$$

抽样分布

常用统计量

统计量	记号
样本均值	$\bar{X}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{X}_i$
样本方差	$S^2={\displaystyle \frac{1}{n-1}}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2={\displaystyle \frac{1}{n-1}}(\sum _{i=1}^n{X}_i^2-n{\bar{X}}^2)$
样本$k$阶原点矩	$A_k={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n{X}_i^k$
样本$k$阶中心矩	$B_k={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^k$

为什么样本方差分母上是 $n-1$ ？

因为计算样本方差是为了估计总体方差，而 $S^2={\displaystyle \frac{1}{n-1}}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$ 是总体方差 ${\sigma }^2$ 的无偏估计量。

$$\begin{array}{rl}E(S^2)& =E({\displaystyle \frac{1}{n-1}}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2)={\displaystyle \frac{1}{n-1}}E(\sum _{i=1}^n{X}_i^2-n{\bar{X}}^2)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{n-1}}[\sum _{i=1}^n(D(X_i)+E^2(X_i))-n(D(\bar{X})+E^2(\bar{X}))]\\ & ={\displaystyle \frac{1}{n-1}}[\sum _{i=1}^n({\sigma }^2+{\mu }^2)-n({\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{n}}+{\mu }^2)]={\displaystyle \frac{(n-1){\sigma }^2}{n-1}}={\sigma }^2\end{array}$$

常用抽样分布

1. ${\chi }^2$ 分布

定义

设 $X_1,...,X_n$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的样本，则称统计量

$${\chi }^2=X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2$$

服从自由度为 $n$ 的 ${\chi }^2$ 分布，记为 ${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$ ，其中 $n$ 表示统计量中独立随机变量的个数。

性质

1. 设 $X_1,...,X_n$ 相互独立，都服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ ，则

$${\displaystyle \frac{1}{{\sigma }^2}}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(n)$$

2. 设 $X_1\sim {\chi }^2(n_1)$ ， $X_2\sim {\chi }^2(n_2)$ 且 $X_1$ 和 $X_2$ 相互独立，则

$$X_1+X_2\sim {\chi }^2(n_1+n_2)$$

3. 设 $X\sim {\chi }^2(n)$ ，则 $E(X)=n,D(X)=2n$

推导

1. 有 ${\displaystyle \frac{X_i-\mu }{\sigma }}\sim N(0,1)$ ，故

$${\displaystyle \frac{1}{{\sigma }^2}}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2=\sum _{i=1}^n{\left({\displaystyle \frac{X_i-\mu }{\sigma }}\right)}^2\sim {\chi }^2(n)$$

2. 记 $X_1=U_1^2+U_2^2+\cdots +U_{n_1}^2$ ， $X_2=V_1^2+V_2^2+\cdots +V_{n_2}^2$

$$X_1+X_2=U_1^2+U_2^2+\cdots +U_{n_1}^2+V_1^2+V_2^2+\cdots +V_{n_2}^2\sim {\chi }^2(n_1+n_2)$$

3. 由 $X_i\sim N(0,1)$ 有 $E(X_i)=0,D(X_i)=1$ ，所以

$$E(X_i^2)=D(X_i)+E^2(X_i)=1$$

故

$$E(X)=E(X_1^2)+E(X_2^2)+\cdots +E(X_n^2)=n$$$$E(X_i^4)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^4{e}^{-x^2/2}\mathrm{d}x/\sqrt{2\pi }=3{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2{e}^{-x^2/2}\mathrm{d}x/\sqrt{2\pi }=3E(X_i^2)=3$$$$D(X_i^2)=E(X_i^4)-E^2(X_i^2)=3-1=2$$

故

$$D(X)=D(X_1^2)+D(X_2^2)+\cdots +D(X_n^2)=2n$$

2. $t$ 分布

定义

设 $X\sim N(0,1),Y\sim {\chi }^2(n)$ ，且 $X$ 和 $Y$ 互相独立，则

$$t={\displaystyle \frac{X}{\sqrt{Y/n}}}$$

服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布，记为 $t\sim t(n)$

性质

1. $t$ 分布的概率密度函数 $f(x)$ 是偶函数，且

$$\underset{|x|\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$$

当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时， $t$ 分布近似标准正态分布，即

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{e}^{-x^2/2}$$

2. 设 $X\sim t(n)$，$E(X)=0,n>1;D(X)={\displaystyle \frac{n}{n-2}},n>2$

推导

2. 当 $n=1$ 时，$t$ 分布就是柯西分布，数学期望不存在， 当 $n>1$ 时，$t$ 分布沿 $y$ 轴对称， $E(X)=0$ 。

记 $X={\displaystyle \frac{Z}{\sqrt{Y/n}}}$ ，变量 $Z\sim N(0,1)Y\sim {\chi }^2(n)$

$$\begin{array}{rl}D(X)& =D(Z/\sqrt{Y/n})=E[(Z/\sqrt{Y/n}{)}^2]-E^2(Z/\sqrt{Y/n})\\ & =E(Z^2)E(1/(Y/n))-E^2(Z)E^2(1/\sqrt{Y/n})=nE(Z^2)E(1/Y)\\ & ={\displaystyle \frac{n}{n-2}}\end{array}$$

这里 $1/Y$ 为逆 ${\chi }^2$ 分布，其期望为 ${\displaystyle \frac{1}{n-2}},n>2$

3. $F$ 分布

定义

设 $X\sim {\chi }^2(n_1),Y\sim {\chi }^2(n_2)$ ，且 $X,Y$ 相互独立，则

$$F={\displaystyle \frac{X/n_1}{Y/n_2}}$$

服从自由度为 $(n_1,n_2)$ 的 $F$ 分布，记为 $F\sim F(n_1,n_2)$

性质

1. 设 $X\sim F(n_1,n_2)$ ，则 ${\displaystyle \frac{1}{X}}\sim F(n_2,n_1)$

2. 设 $t\sim t(n)$ ，则 $t^2\sim F(1,n)$

3. 设 $X\sim F(n_1,n_2)$ ，则 $E(X)={\displaystyle \frac{n_2}{n_2-2}},n_2>2$

$$D(X)={\displaystyle \frac{2n_2^2(n_1+n_2-2)}{n_1(n_2-2{)}^2(n_2-4)}},n_2>4$$

推导

1. 2. 显然成立

3.记 $X={\displaystyle \frac{Z/n_1}{Y/n_2}}\sim F(n_1,n_2)$

$$E(X)={\displaystyle \frac{n_2}{n_1}}E(Z)E\left({\displaystyle \frac{1}{Y}}\right)={\displaystyle \frac{n_2}{n_2-2}},n_2>2$$$$E(Z^2)=D(Z)+E^2(Z)=2n_1+n_1^2$$$$E\left({\displaystyle \frac{1}{Y^2}}\right)=D\left({\displaystyle \frac{1}{Y}}\right)+E^2\left({\displaystyle \frac{1}{Y}}\right)={\displaystyle \frac{1}{(n_2-2)(n_2-4)}}$$$$D(X)=D\left({\displaystyle \frac{Z/n_1}{Y/n_2}}\right)=E\left({\displaystyle \frac{(Z/n_1{)}^2}{(Y/n_2{)}^2}}\right)-E^2\left({\displaystyle \frac{Z/n_1}{Y/n_2}}\right)={\displaystyle \frac{2n_2^2(n_1+n_2-2)}{n_1(n_2-2{)}^2(n_2-4)}}$$

参数估计

点估计

1. 矩估计

变量 $X\sim X(\theta )\Rightarrow$ 总体的 $k$ 阶原点矩 ${\mu }_K=?(\theta )\Rightarrow$ 用样本原点矩代替总体原点矩 $\hat{\theta }={?}^{-1}(A_k)$

2. 最大似然估计

构造似然函数 $L(\theta )={\mathrm{\Pi }}_{i=1}^{n}f(X_i)$ ，得到使 $L(\theta )$ 取最大值时的 $\hat{\theta }$ 值 (${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ln L(\theta )}{\mathrm{d}\theta }}{|}_{\theta =\hat{\theta }}=0$)

区间估计

定义

枢轴量： $W(X_1,...,X_n;\theta )$ 分布不依赖于未知参数，一般从点估计出发构造；

置信区间： $P\{{\hat{\theta }}_1(X_1,...,X_n)<\theta <{\hat{\theta }}_2(X_1,...,X_n)\}=1-\alpha$ 称 $({\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2)$ 为 $\theta$ 的一个置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间。

1. 单个正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的估计

待估计量	条件	枢轴量及分布	置信区间
$\mu$	${\sigma }^2$ 已知	${\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$	$(\bar{X}\pm {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}{z}_{\alpha /2})$
$\mu$	${\sigma }^2$ 未知	${\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}}\sim t(n-1)$	$(\bar{X}\pm {\displaystyle \frac{S}{\sqrt{n}}}{t}_{\alpha /2}(n-1))$
${\sigma }^2$	$\mu$ 未知	${\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}}\sim {\chi }^2(n-1)$	$({\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)}},{\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)}})$
${\sigma }^2$	$\mu$ 已知	${\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}}\sim {\chi }^2(n)$	$({\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n)}},{\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)}})$

注：

$z_{\alpha /2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha /2$ 分位点， $t_{\alpha /2}(n-1)$ 是 $t(n-1)$ 的上 $\alpha /2$ 分位点， ${\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)$ 是 ${\chi }^2(n-1)$ 的上 $\alpha /2$ 分位点。

推导

1. 由中心极限定理有 ${\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$ $\Rightarrow$$P\{-z_{\alpha /2}<{\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}}<z_{\alpha /2}\}=1-\alpha$ $\Rightarrow$$P\{\bar{X}-{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}{z}_{\alpha /2}<\mu <\bar{X}+{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}{z}_{\alpha /2}\}=1-\alpha$ $\Rightarrow$ 参数 $\mu$ 的一个置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为 $(\bar{X}\pm {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}{z}_{\alpha /2})$

下面只推导各个枢轴量的分布，求置信区间的方法与上面相同。

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}}& ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}}}{{\displaystyle \frac{S}{\sigma }}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}}}{\sqrt{{\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2(n-1)}}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}}}{\sqrt{{\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}}/(n-1)}}}\end{array}$$

下面求 ${\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}}$ 的分布：

有恒等式

$$\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{(X_i-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}}=\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{[(X_i-\bar{X})+(\bar{X}-\mu ){]}^2}{{\sigma }^2}}={\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2}{{\sigma }^2}}+{\displaystyle \frac{n(\bar{X}-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}}$$

即

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{(X_i-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}}& ={\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}}+{\displaystyle \frac{n(\bar{X}-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}}\\ {\chi }^2(n)& ={\chi }^2(n-1)+{\chi }^2(1)\end{array}$$

故 ${\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}}\sim {\chi }^2(n-1)$

则 ${\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{N(0,1)}{\sqrt{{\chi }^2(n-1)/(n-1)}}}\sim t(n-1)$

同1可求出 $\mu$ 的置信区间。

3. 在2中已经证明： ${\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}}\sim {\chi }^2(n-1)$

4. 由 $X_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 易证 ${\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}}\sim {\chi }^2(n)$

2. 两个正态分布总体 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ 的估计

待估计量	条件	枢轴量及分布	置信区间
${\mu }_1-{\mu }_2$	${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 已知	$U={\displaystyle \frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{{\sigma }_1^2/n+{\sigma }_2^2/m}}}\sim N(0,1)$	$((\bar{X}-\bar{Y})\pm z_{\alpha /2}\sqrt{{\displaystyle \frac{{\sigma }_1^2}{n}}+{\displaystyle \frac{{\sigma }_2^2}{m}}})$
${\mu }_1-{\mu }_2$	${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ 未知	$T={\displaystyle \frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_w\sqrt{1/n+1/m}}}\sim t(n+m-2)$	$((\bar{X}-\bar{Y})\pm t_{\alpha /2}{S}_w\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{m}}})$
${\displaystyle \frac{{\sigma }_1^2}{{\sigma }_2^2}}$	${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知	$F={\displaystyle \frac{S_1^2/S_2^2}{{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2}}\sim F(n-1,m-1)$	$({\displaystyle \frac{S_1^2}{S_2^2}}{\displaystyle \frac{1}{F_{\alpha /2}}},{\displaystyle \frac{S_1^2}{S_2^2}}{\displaystyle \frac{1}{F_{1-\alpha /2}}})$

注：

其中

$$S_w^2={\displaystyle \frac{(n-1)S_1^2+(m-1)S_2^2}{n+m-2}}$$

推导

1. $\bar{X}\sim N({\mu }_1,{\displaystyle \frac{{\sigma }_1^2}{n}})\bar{Y}\sim N({\mu }_2,{\displaystyle \frac{{\sigma }_2^2}{n}})$

$$\bar{X}-\bar{Y}\sim N({\mu }_1-{\mu }_2,{\displaystyle \frac{{\sigma }_1^2}{n}}+{\displaystyle \frac{{\sigma }_2^2}{m}})$$$${\displaystyle \frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{{\sigma }_1^2/n+{\sigma }_2^2/m}}}\sim N(0,1)$$

2. 令上式中 ${\sigma }_1={\sigma }_2=\sigma$ 有

$$U={\displaystyle \frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sigma \sqrt{1/n+1/m}}}\sim N(0,1)$$

又由 ${\displaystyle \frac{(n-1)S_1^2}{{\sigma }^2}}\sim {\chi }^2(n-1)$ 和 ${\displaystyle \frac{(m-1)S_2^2}{{\sigma }^2}}\sim {\chi }^2(m-1)$ 有

$$V={\displaystyle \frac{(n-1)S_1^2}{{\sigma }^2}}+{\displaystyle \frac{(m-1)S_2^2}{{\sigma }^2}}\sim {\chi }^2(n+m-2)$$$${\displaystyle \frac{U}{\sqrt{V/(n+m-2)}}}={\displaystyle \frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_w\sqrt{1/n+1/m}}}\sim t(n+m-2)$$

3. 由 ${\displaystyle \frac{(n-1)S_1^2}{{\sigma }^2}}\sim {\chi }^2(n-1)$ 和 ${\displaystyle \frac{(m-1)S_2^2}{{\sigma }^2}}\sim {\chi }^2(m-1)$ 有

$${\displaystyle \frac{S_1^2/S_2^2}{{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{(n-1)S_1^2}{{\sigma }^2}}/(n-1)}{{\displaystyle \frac{(m-1)S_2^2}{{\sigma }^2}}/(m-1)}}\sim F(n-1,m-1)$$

假设检验

定义

原假设 $H_0$: 需要检验的假设

拒绝域 $W$: 拒绝原假设的观测值域

显著性水平 $\alpha$: 控制 $P(W|H_0)\le \alpha$

第一类错误（拒真）: $P(W|H_0)$

第二类错误（取伪）: $P(\bar{W}|\overline{H_0})$

1. 单个正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的假设检验

(1) 对均值 $\mu$ 的假设检验， ${\sigma }^2$ 已知， ${\mu }_0$ 为已知的常数

原假设$H_0$	备择假设$H_1$	检验统计量	拒绝域$W$
$\begin{array}{r}\mu ={\mu }_0\\ \mu \ge {\mu }_0\\ \mu \le {\mu }_0\end{array}$	$\begin{array}{r}\mu \ne {\mu }_0\\ \mu <{\mu }_0\\ \mu >{\mu }_0\end{array}$	$Z={\displaystyle \frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}}$	$\begin{array}{rl}|z|& \ge z_{\alpha /2}\\ z& \le -z_{\alpha }\\ z& \ge z_{\alpha }\end{array}$

(2) 对均值 $\mu$ 的假设检验， ${\sigma }^2$ 未知， ${\mu }_0$ 为已知的常数

原假设$H_0$	备择假设$H_1$	检验统计量	拒绝域$W$
$\begin{array}{r}\mu ={\mu }_0\\ \mu \ge {\mu }_0\\ \mu \le {\mu }_0\end{array}$	$\begin{array}{r}\mu \ne {\mu }_0\\ \mu <{\mu }_0\\ \mu >{\mu }_0\end{array}$	$T={\displaystyle \frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}}$	$\begin{array}{rl}|t|& \ge t_{\alpha /2}(n-1)\\ t& \le -t_{\alpha }(n-1)\\ t& \ge t_{\alpha }(n-1)\end{array}$

(3) 对方差 ${\sigma }^2$ 的假设检验， $\mu$ 未知， ${\sigma }_0$ 为已知的常数

原假设$H_0$	备择假设$H_1$	检验统计量	拒绝域$W$
$\begin{array}{r}{\sigma }^2={\sigma }_0^2\\ {\sigma }^2\ge {\sigma }_0^2\\ {\sigma }^2\le {\sigma }_0^2\end{array}$	$\begin{array}{r}{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2\\ {\sigma }^2<{\sigma }_0^2\\ {\sigma }^2>{\sigma }_0^2\end{array}$	${\chi }^2={\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{{\sigma }_0^2}}$	$\begin{array}{rl}{\chi }^2\ge {\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)& \cup {\chi }^2\le {\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)\\ {\chi }^2& \le {\chi }_{1-\alpha }^2(n-1)\\ {\chi }^2& \ge {\chi }_{\alpha }^2(n-1)\end{array}$

(4) 对方差 ${\sigma }^2$ 的假设检验， $\mu$ 已知， ${\sigma }_0$ 为已知的常数

原假设$H_0$	备择假设$H_1$	检验统计量	拒绝域$W$
$\begin{array}{r}{\sigma }^2={\sigma }_0^2\\ {\sigma }^2\ge {\sigma }_0^2\\ {\sigma }^2\le {\sigma }_0^2\end{array}$	$\begin{array}{r}{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2\\ {\sigma }^2<{\sigma }_0^2\\ {\sigma }^2>{\sigma }_0^2\end{array}$	${\chi }^2={\displaystyle \frac{1}{{\sigma }_0^2}}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$	$\begin{array}{rl}{\chi }^2\ge {\chi }_{\alpha /2}^2(n)& \cup {\chi }^2\le {\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)\\ {\chi }^2& \le {\chi }_{1-\alpha }^2(n)\\ {\chi }^2& \ge {\chi }_{\alpha }^2(n)\end{array}$

2. 两个正态分布总体 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ 的假设检验

(1) 对均值差 ${\mu }_1-{\mu }_2$ 的假设检验， ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 已知， $\delta$ 为已知的常数

原假设$H_0$	备择假设$H_1$	检验统计量	拒绝域$W$
$\begin{array}{r}{\mu }_1-{\mu }_2=\delta \\ {\mu }_1-{\mu }_2\ge \delta \\ {\mu }_1-{\mu }_2\le \delta \end{array}$	$\begin{array}{r}{\mu }_1-{\mu }_2\ne \delta \\ {\mu }_1-{\mu }_2<\delta \\ {\mu }_1-{\mu }_2>\delta \end{array}$	$Z={\displaystyle \frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\delta }{\sqrt{{\sigma }_1^2/n+{\sigma }_2^2/m}}}$	$\begin{array}{rl}|z|& \ge z_{\alpha /2}\\ z& \le -z_{\alpha }\\ z& \ge z_{\alpha }\end{array}$

(2) 对均值差 ${\mu }_1-{\mu }_2$ 的假设检验， ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ 未知， $\delta$ 为已知的常数

原假设$H_0$	备择假设$H_1$	检验统计量	拒绝域$W$
$\begin{array}{r}{\mu }_1-{\mu }_2=\delta \\ {\mu }_1-{\mu }_2\ge \delta \\ {\mu }_1-{\mu }_2\le \delta \end{array}$	$\begin{array}{r}{\mu }_1-{\mu }_2\ne \delta \\ {\mu }_1-{\mu }_2<\delta \\ {\mu }_1-{\mu }_2>\delta \end{array}$	$T={\displaystyle \frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\delta }{S_w\sqrt{1/n+1/m}}}$	$\begin{array}{rl}|t|& \ge t_{\alpha /2}(n+m-2)\\ t& \le -t_{\alpha }(n+m-2)\\ t& \ge t_{\alpha }(n+m-2)\end{array}$

(3) 对方差比 ${\displaystyle \frac{{\sigma }_1^2}{{\sigma }_2^2}}$ 的假设检验， ${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知

原假设$H_0$	备择假设$H_1$	检验统计量	拒绝域$W$
$\begin{array}{r}{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2\\ {\sigma }_1^2\ge {\sigma }_2^2\\ {\sigma }_1^2\le {\sigma }_2^2\end{array}$	$\begin{array}{r}{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2\\ {\sigma }_1^2<{\sigma }_2^2\\ {\sigma }_1^2>{\sigma }_2^2\end{array}$	$F={\displaystyle \frac{S_1^2}{S_2^2}}$	$\begin{array}{rl}{F}^2\ge F_{\alpha /2}^2(n-1,m-1)& \cup F^2\le F_{1-\alpha /2}^2(n-1,m-1)\\ F^2& \le F_{1-\alpha }^2(n-1,m-1)\\ F^2& \ge F_{\alpha }^2(n-1,m-1)\end{array}$

推导

所有拒绝域只需要考虑对应参数的区间估计时使用的枢轴量的分布，然后控制第一类错误的概率小于显著性水平即可得到。