光学

光学矩阵

概念

在几何光学中， 对于任何光学元件， 我们都可以用一个矩阵来描述其对傍轴光线的改变， 称为光学矩阵。

如下模型图所示：

可以用光线与光学元件交点与光轴的偏移 $x$ 和光线的倾角 $\theta$ 来唯一表示光线， 即入射光线为

$$[r_1]=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ {\theta }_1\end{array}\right)$$

出射光线为

$$[r_2]=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ {\theta }_2\end{array}\right)$$

且有关系

$$[r_2]=[M][r_1]$$$$\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ {\theta }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ {\theta }_1\end{array}\right)$$

其中 $[M]=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$ 称为该光学元件的光学矩阵。

例子

• 自由空间传播距离 $L$

有关系式

$$\{\begin{array}{l}{x}_2=x_1+L\tan {\theta }_1\approx x_1+L{\theta }_1\\ {\theta }_2={\theta }_1\end{array}$$

即

$$\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ {\theta }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& L\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ {\theta }_1\end{array}\right)$$

故长度为 $L$ 自由空间的光学矩阵为

$$[M]=\left(\begin{array}{cc}1& L\\ 0& 1\end{array}\right)$$

• 平面界面上的折射

$$\{\begin{array}{l}{x}_2=x_1\\ n_2{\theta }_2\approx n_2\sin {\theta }_2=n_1\sin {\theta }_1\approx n_1{\theta }_1\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ {\theta }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& n_1/n_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ {\theta }_1\end{array}\right)$$

• 薄透镜

$$\{\begin{array}{l}{x}_2=x_1\\ x_1=f{\theta }_1+(-f{\theta }_2)\Rightarrow {\theta }_2=-x_1/f+{\theta }_1\end{array}$$$$\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ {\theta }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1/f& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ {\theta }_1\end{array}\right)$$

• 球面界面上的折射

在球心 $O$ 做半径分别为 ${\displaystyle \frac{n_1}{n_2}}R,{\displaystyle \frac{n_2}{n_1}}R$ 的球面， 记光线入射点 $A$ ，入射光线延长线与外球面交于点 $B$ ， 连接 $OB$ 交内球面于点 $C$ 。 则由 $\mathrm{△}OAB$ 与 $\mathrm{△}OCA$ 相似及正弦定理可知出射光线 $AC$ 满足折射定律：

$$n_1\sin i=n_2\sin i^{\prime }$$

可近似为 $n_{1}i=n_2{i}^{\prime }$ ，又由

$$\mathrm{\angle }OAB=i={\theta }_1-{\theta }_2+i^{\prime }$$

得到

$$i={\displaystyle \frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{1-{\displaystyle \frac{n_1}{n_2}}}}={\displaystyle \frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{n_2-n_1}}{n}_2$$

由 $x_1=-R\sin (i-{\theta }_1)$ 可得

$${\theta }_2=\frac{n_2-n_1}{n_{2}R}{x}_1+\frac{n_1}{n_2}{\theta }_1$$

则

$$\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ {\theta }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ {\displaystyle \frac{n_2-n_1}{n_{2}R}}& {\displaystyle \frac{n_1}{n_2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ {\theta }_1\end{array}\right)$$

波动光学

定态光波和复振幅描述

• 定态光波 $U(P,t)=A(P)\cos [\omega t-\phi (P)]$

1. 平面波

• $A(P)=const$
• $\phi (P)=\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}+{\phi }_0$

2. 球面波

• $A(P)={\displaystyle \frac{a}{r}}$

• $\phi (P)=kr+{\phi }_0$

• 复振幅描述 $\tilde{U}(P,t)=A(P)e^{i\phi (P)}$

• 光强 $I=\tilde{U}{\tilde{U}}^{\ast }$

波前

• 波面：相位相等曲面
• 波前：光波场中任意曲面
• 共轭波：复振幅共轭的波

• $\tilde{U}(x^{\prime },y^{\prime })={\displaystyle \frac{a}{z(1+{\rho }^2/2z^2)}}exp[ik(z+{\displaystyle \frac{{\rho }^2}{2z}})]$
• 傍轴条件（振幅） ${\displaystyle \frac{{\rho }^2}{z^2}}\ll 1\iff z^2\gg {\rho }^2$
• 远场条件（相位） ${\displaystyle \frac{1}{2}}k{\displaystyle \frac{{\rho }^2}{z}}\ll \pi \iff z\gg {\displaystyle \frac{{\rho }^2}{\lambda }}$

波的叠加和干涉

• 波的干涉 $I(P)=I_1(P)+I_2(P)+2\sqrt{I_1(P)I_2(P)}\cos \delta (P)$
• 相干条件：

1. 频率相同
2. 存在相互平行的振动分量
3. 相位差稳定

• 干涉条纹的反衬度 $\gamma ={\displaystyle \frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}}$
• 双光干涉光强分布

$$\begin{array}{r}I=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \delta \\ =(A_1^2+A_2^2)(1+\gamma \cos \delta )\end{array}$$

两个点源的干涉

1. 两列球面波的干涉

杨氏双缝干涉实验

2. 两列平面波的干涉

衍射和惠更斯-菲涅耳原理

• 惠更斯-菲涅耳原理：波前 $\mathrm{\Sigma }$ 上的每个面元 $\mathrm{d}\mathrm{\Sigma }$ 都可以看成是新的振动中心，它们发出次波，在空间某一点 $P$ 的振动是所有这些次波在该点的相干叠加。

• 菲涅耳-基尔霍夫衍射公式：

$$\tilde{U}(P)=\frac{-i}{2\lambda }{\iint }_{{\mathrm{\Sigma }}_0}(\cos {\theta }_0+\cos \theta ){\tilde{U}}_0(Q)\frac{e^{ikr}}{r}\mathrm{d}\mathrm{\Sigma }$$

• 巴比涅原理：互补屏造成的衍射场中复振幅之和等于自由波场的复振幅。
• 衍射分类：

菲涅耳圆孔/圆屏衍射

• 现象：

• 解释：(只能解释轴上光强)

1. 半波带法
2. 矢量图法

• 菲涅耳波带片

夫琅和费单缝/矩孔衍射

• 现象：

• 单缝衍射强度公式：

$$I_{\theta }=I_0{\left(\frac{\sin \alpha }{\alpha }\right)}^2,\alpha =\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda }$$

• 矩孔衍射强度公式：

$$I_{\theta }=I_0{\left(\frac{\sin \alpha }{\alpha }\right)}^2{\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2,\alpha =\frac{\pi a\sin {\theta }_1}{\lambda },\beta =\frac{\pi b\sin {\theta }_2}{\lambda }$$

• 单缝衍射因子特点：

1. 主极强——零级衍射斑 $\alpha =0$
2. 次极强——高级衍射斑 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha }}\left({\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\alpha }}\right)=0$
3. 暗斑 $\sin \alpha =0$
4. 半角宽度 $\mathrm{\Delta }\theta ={\displaystyle \frac{\lambda }{a}}$

光学仪器的像分辨本领

• 夫琅和费圆孔衍射光强分布：

$$I(\theta )=I_0{\left(\frac{2J_1(x)}{x}\right)}^2,x=\frac{2\pi a}{\lambda }\sin \theta$$

其中 $a$ 是圆孔的半径，$\theta$ 是衍射角，$J_1(x)$是一阶贝塞尔函数。

下图演示圆孔衍射因子和衍射图样

• 艾里斑：第一暗环的角半径 $\mathrm{\Delta }\theta$

$$\mathrm{\Delta }\theta =0.61\frac{\lambda }{a}=1.22\frac{\lambda }{D}$$

• 望远镜的最小分辨角：$\delta {\theta }_m=1.22{\displaystyle \frac{\lambda }{D}}$

光的横波性和偏振态

• 光的横波性：以电矢量作为光波中振动矢量的代表

• 五种偏振态：

1. 自然光
2. 线偏振光

• 马吕斯定律

3. 部分偏振光

• 偏振度 $P={\displaystyle \frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}}$

4. 圆偏振光
5. 椭圆偏振光

菲涅耳公式

• 菲涅耳反射折射公式

$$\{\begin{array}{l}{E}_{1p}^{\prime }={\displaystyle \frac{n_2\cos i_1-n_1\cos i_2}{n_2\cos i_1+n_1\cos i_2}}{E}_{1p}={\displaystyle \frac{\tan (i_1-i_2)}{\tan (i_1+i_2)}}{E}_{1p}\\ E_{2p}={\displaystyle \frac{2n_1\cos i_1}{n_2\cos i_1+n_1\cos i_2}}{E}_{1p}\\ E_{1s}^{\prime }={\displaystyle \frac{n_1\cos i_1-n_2\cos i_2}{n_1\cos i_1+n_2\cos i_2}}{E}_{1s}={\displaystyle \frac{\sin (i_2-i_1)}{\sin (i_2+i_1)}}{E}_{1s}\\ E_{2s}={\displaystyle \frac{2n_1\cos i_1}{n_1\cos i_1+n_2\cos i_2}}{E}_{1s}={\displaystyle \frac{2\cos i_1\sin i_2}{\sin (i_2+i_1)}}{E}_{1s}\end{array}$$

• 反射率和透射率

	p分量	s分量
振幅反射率	$r_p={\displaystyle \frac{E_{1p}^{\prime }}{E_{1p}}}$	$r_s={\displaystyle \frac{E_{1s}^{\prime }}{E_{1s}}}$
光强反射率	$R_p={\displaystyle \frac{I_{1p}^{\prime }}{I_{1p}}}=|r_p{|}^2$	$R_s={\displaystyle \frac{I_{1s}^{\prime }}{I_{1s}}}=|r_s{|}^2$
能流反射率	${\mathcal{R}}_p={\displaystyle \frac{W_{1p}^{\prime }}{W_{1p}}}=R_p$	${\mathcal{R}}_s={\displaystyle \frac{W_{1s}^{\prime }}{W_{1s}}}=R_s$
振幅透射率	$t_p={\displaystyle \frac{E_{2p}}{E_{1p}}}$	$t_s={\displaystyle \frac{E_{2s}}{E_{1s}}}$
光强透射率	$T_p={\displaystyle \frac{I_{2p}}{I_{1p}}}={\displaystyle \frac{n_2}{n_1}}|t_p{|}^2$	$T_s={\displaystyle \frac{I_{2s}}{I_{1s}}}={\displaystyle \frac{n_2}{n_1}}|t_s{|}^2$
能流透射率	${\mathcal{T}}_p={\displaystyle \frac{W_{2p}}{W_{1p}}}={\displaystyle \frac{\cos i_2}{\cos i_1}}{T}_p$	${\mathcal{T}}_s={\displaystyle \frac{W_{2s}}{W_{1s}}}={\displaystyle \frac{\cos i_2}{\cos i_1}}{T}_s$

将菲涅耳公式带入有：

$$\{\begin{array}{l}{r}_p={\displaystyle \frac{n_2\cos i_1-n_1\cos i_2}{n_2\cos i_1+n_1\cos i_2}}={\displaystyle \frac{\tan (i_1-i_2)}{\tan (i_1+i_2)}}\\ r_s={\displaystyle \frac{n_1\cos i_1-n_2\cos i_2}{n_1\cos i_1+n_2\cos i_2}}={\displaystyle \frac{\sin (i_2-i_1)}{\sin (i_2+i_1)}}\end{array}$$$$\{\begin{array}{l}{t}_p={\displaystyle \frac{2n_1\cos i_1}{n_2\cos i_1+n_1\cos i_2}}\\ t_s={\displaystyle \frac{2n_1\cos i_1}{n_1\cos i_1+n_2\cos i_2}}\end{array}$$

• 斯托克斯倒逆关系

$$\{\begin{array}{l}{r}^2+t{t}^{\prime }=1\\ r^{\prime }=-r\end{array}$$

• 相位关系和半波损

干涉装置 光场时空相干性

分波前干涉装置

1. 分波前干涉装置

• 菲涅耳双面镜

• 菲涅耳双棱镜

• 劳埃德镜

2. 条纹形状与间距

$$\mathrm{\Delta }x=\frac{D\lambda }{d}$$

其中 $D$ 是 $S_1,S_2$ 所在平面到幕的距离， $d$ 是 $S_1,S_2$ 之间的距离。

3. 光源宽度对干涉条纹衬比度的影响

$$b=\frac{R}{d}\lambda$$

4. 光场的空间相干性

相干范围的孔径角 $\mathrm{\Delta }{\theta }_0$ 有

$$b\mathrm{\Delta }{\theta }_0=\lambda$$

薄膜干涉-等厚条纹

1. 楔形薄膜的等厚条纹

$$\mathrm{\Delta }x=\frac{\lambda }{2\alpha }$$

2. 牛顿圈

$$R=\frac{r_{k+m}^2-r_k^2}{m\lambda }$$

薄膜干涉-等倾条纹

1. 无穷远的等倾干涉条纹

$$\mathrm{\Delta }L=2nh\cos i$$

迈克尔孙干涉仪

1. 迈克尔孙干涉仪结构

2. 干涉条纹

3. 精密测长

4. 时间相干性

相干长度 $L_0$ ，相干时间 ${\tau }_0$ 与谱线宽度 $\mathrm{\Delta }\lambda$ 成反比

$$L_0\frac{\mathrm{\Delta }\lambda }{\lambda }\approx \lambda ,{\tau }_0\mathrm{\Delta }\nu \approx 1$$

多光束干涉

1. 多光束干涉

透射光强

$$I_T=\frac{I_0}{1+{\displaystyle \frac{4R{\sin }^2(\delta /2)}{(1-R{)}^2}}}$$

反射光强

$$I_R=I_0-I_R=\frac{I_0}{1+{\displaystyle \frac{(1-R{)}^2}{4R{\sin }^2(\delta /2)}}}$$

其中 $\delta ={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}\mathrm{\Delta }L={\displaystyle \frac{4\pi nh\cos i}{\lambda }}$ ，$R=r^2$ 为光强反射率。

2. 干涉条纹的半值宽度

$$\epsilon =\frac{2(1-R)}{\sqrt{R}}$$

单色光第 $k$ 级亮纹角宽度

$$\mathrm{\Delta }{i}_k=\frac{\lambda \epsilon }{4\pi nh\sin i_k}=\frac{\lambda }{2\pi nh\sin i_k}\frac{1-R}{\sqrt{R}}$$

3. 法布里-珀罗干涉仪

法-珀腔 $h$ 作用：

4. 光谱的精细结构

对于双谱线 $\lambda$ 和 $\lambda +\delta \lambda$

可分辨最小波长间距

$$\delta \lambda =\frac{\lambda }{\pi k}\frac{1-R}{\sqrt{R}}$$

其中 $k={\displaystyle \frac{2h}{\lambda }}$ 为中央区域干涉级。

衍射光栅

光栅：有周期性的空间结构或光学性能的衍射屏。

多缝夫琅和费衍射

1. 实验装置和现象

2. $N$ 缝衍射的光强分布

$$I_{\theta }=a_0^2{\left(\frac{\sin \alpha }{\alpha }\right)}^2{\left(\frac{\sin N\beta }{\sin \beta }\right)}^2,\alpha =\frac{\pi a}{\lambda }\sin \theta ,\beta =\frac{\pi d}{\lambda }\sin \theta$$

• 单缝衍射因子 $\sin \alpha /\alpha$
• 缝间干涉因子 $\sin N\beta /\sin \beta$

3. 缝间干涉因子

• 主极强

$$\sin \theta =k\frac{\lambda }{d}$$

• 零点位置

$$\sin \theta =(k+\frac{m}{N})\frac{\lambda }{d}$$

其中，$k=0,\pm 1,\pm 2,...;m=1,...,N-1$

• 主极强半角宽度

$$\mathrm{\Delta }\theta =\frac{\lambda }{Nd\cdot \cos {\theta }_k}$$

4. 单缝衍射因子

光栅光谱仪

1. 分光原理

光栅公式： $\sin \theta =k{\displaystyle \frac{\lambda }{d}}$

2. 光栅的色散本领和色分辨本领

• 色散本领：

角色散本领 $D_{\theta }\equiv {\displaystyle \frac{\delta \theta }{\delta \lambda }}$

线色散本领 $D_l\equiv {\displaystyle \frac{\delta l}{\delta \lambda }}$

记光栅后凸透镜的焦距为 $f$ ，则有关系 $D_l=f{D}_{\theta }$

对于光栅常数 $d$ 的光栅有：

$$D_{\theta }=\frac{k}{d\cdot \cos {\theta }_k},D_l=\frac{kf}{d\cdot \cos {\theta }_k}$$

• 色分辨本领：

瑞利判据 $\mathrm{\Delta }\theta =\delta \theta$

色分辨本领 $R\equiv {\displaystyle \frac{\lambda }{\delta \lambda }}=kN$

3. 量程与自由光谱范围

量程 ${\lambda }_{max}<d$

自由光谱范围 ${\lambda }_{min}>{\lambda }_{max}/2$ （对一级光谱来说）

4. 闪耀光栅

闪耀角 ${\theta }_b=<\mathit{n},\mathit{N}>$

取 1 级闪耀波长 ${\lambda }_{1b}=2d\sin {\theta }_b$ 有：

同样的，取 2 级闪耀波长 $2{\lambda }_{2b}=2d\sin {\theta }_b$

光在晶体中的传播

双折射

1. 概念

• o光：寻常光(ordinary)
• e光：非常光(extraordinary)
• 光轴：o光和e光不分开的方向
• 主截面：界面法线和光轴所成平面

2. 单轴晶体中的波面

3. 惠更斯作图法

晶体光学器件

1. 晶体偏振器

2. 波晶片——相位延迟片

o光相位相对e光延迟了

$$\mathrm{\Delta }=\frac{2\pi }{\lambda }(n_o-n_e)d$$

• 四分之一波长片（ $\lambda /4$ 片） $\mathrm{\Delta }=\pm \pi /2$
• 二分之一波长片（ $\lambda /2$ 片） $\mathrm{\Delta }=\pm \pi$
• 全波片 $\mathrm{\Delta }=2\pi$

(椭)圆偏振光的获得和检验

1. 振动合成

$$\{\begin{array}{l}{E}_x=A_x\cos \omega t\\ E_y=A_y\cos (\omega t+\delta )\end{array}$$

2. (椭)圆偏振光的获得

3. 偏振光的检验

偏振光干涉及其应用

1. 偏振光干涉

2. 光测弹性

3. 克尔效应与泡克尔斯效应

• 克尔效应（二次电光效应） $\mathrm{\Delta }n\propto E^2$
• 泡克尔斯效应（线性电光效应） $\mathrm{\Delta }n\propto E$

旋光

1. 石英的旋光效应

振动面旋转角度 $\psi$ 与石英晶片的厚度 $d$ 成正比：

$$\psi =\alpha d$$

比例系数 $\alpha$ 称为石英的旋光率。

2. 磁致旋光——法拉第旋转

• 对于给定的介质，振动面的转角 $\psi$ 与样品的长度 $l$ 和磁感应强度 $B$ 成正比

$$\psi =VlB$$

比例系数 $V$ 称为维尔德 (Verdet) 常数。

• 自然旋光与磁致旋光

光的吸收、色散和散射

光的吸收

光在介质传播会被吸收或消耗。分为真吸收和散射，前者把光能转换成热能，后者只是向各个方向散射。

1. 吸收的线性规律

$$-\mathrm{d}I=\alpha I\mathrm{d}x$$$$I=I_0{e}^{-\alpha l}$$

其中 $\alpha$ 为吸收系数。

2. 复数折射率

对于平面波 $E(z,t)=A\exp [i(kz-\omega t)]$

引入复数折射率 $\tilde{n}=n_r+i{n}_i$ ，波矢 $k={\displaystyle \frac{2\pi (n_r+i{n}_i)}{\lambda }}$ ，光强 $I\propto |E{|}^2=I_0{e}^{-\alpha z}$

吸收系数 $\alpha ={\displaystyle \frac{4\pi n_i}{\lambda }}$

• 普遍吸收：吸收系数 $\alpha$ 与波长 $\lambda$ 无关。
• 选择吸收

光的色散

色散：光的传播速度 $v$ （折射率 $n=c/v$ ）随波长 $\lambda$ 而异。

1. 正常色散

柯西公式 $n=A+{\displaystyle \frac{B}{{\lambda }^2}}+{\displaystyle \frac{C}{{\lambda }^4}}$

2. 反常色散

群速

两列波

$$\{\begin{array}{l}{U}_1(x,t)=A\cos ({\omega }_{1}t-k_{1}x),\\ U_2(x,t)=A\cos ({\omega }_{2}t-k_{2}x),\end{array}$$

令

$$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }\omega =({\omega }_1-{\omega }_2)/2,{\omega }_0=({\omega }_1+{\omega }_2)/2;\\ \mathrm{\Delta }k=(k_1-k_2)/2,k_0=(k_1+k_2)/2.\end{array}$$

设 $|\mathrm{\Delta }\omega |\ll {\omega }_0,|\mathrm{\Delta }k|\ll k_0$

合成波列

$$\begin{array}{rl}U(x,t)& =U_1(x,t)+U_2(x,t)\\ & =2A\cos (\mathrm{\Delta }\omega t-\mathrm{\Delta }kx)\cos ({\omega }_{0}t-k_{0}x)\end{array}$$

• 群速 $v_g={\displaystyle \frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}k}}$
• 相速 $v_p={\displaystyle \frac{{\omega }_0}{k_0}}$

光的散射

1. 瑞利散射定律： ${\lambda }^4$ 反比律

以无量纲物理量 $ka=2\pi a/\lambda$ 来划分散射种类：

• $ka<0.3$ 瑞利散射 (${\omega }^4$)
• $ka>1$ 米氏散射 (${\omega }^2$)
• $ka>10$ 非选择性散射
• $ka>100$ 光学区域，折反定律

2. 拉曼散射：非弹性散射现象，散射光频率相对入射光偏移。

光的量子性 激光

热辐射

• 辐射场的描述：

  辐射能的分布函数 $f(\nu ,\hat{\mathit{s}},\mathit{r},t)$

  分布在以 $\nu$ 为中心的频段 $\mathrm{d}\nu$ 内以 $\hat{\mathit{s}}$ 方向为轴的立体角元 $\mathrm{d}\mathrm{\Omega }$ 内的能量为 $f(\nu ,\hat{\mathit{s}},\mathit{r},t)\mathrm{d}\nu \mathrm{d}\mathrm{\Omega }$

• 基尔霍夫热辐射定律：

  热平衡状态下物体的辐射本领与吸收本领成正比，比值只与 $T,\nu$ 有关。

• 绝对黑体：在任何温度下都把照射在其上任何频率的辐射能完全吸收。

• 斯特藩-波尔兹曼定律： 黑体辐射的辐射本领 $R_T=\int r_0(\lambda ,T)\mathrm{d}\lambda$ 与绝对温度 $T$ 的四次方成正比，即

  $$R_T=\sigma T^4$$

  比例常数 $\sigma =5.67\times {10}^{-12}\mathrm{W}/{\mathrm{cm}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4$ 称为斯特藩-波尔兹曼常数。

• 维恩位移定律：在任何温度下 $r_0(\lambda ,T)-\lambda$ 曲线都有一最大值，对应波长为 ${\lambda }_M$ ，有

  $${\lambda }_{M}T=b$$

  其中普适常数 $b=0.288\mathrm{cm}\cdot \mathrm{K}$

• 普朗克公式：

  $$r_0(\nu ,T)=\frac{2\pi h}{c^2}\frac{{\nu }^3}{{\mathrm{e}}^{h\nu /kT}-1}$$$$r_0(\lambda ,T)=\frac{2\pi h{c}^2}{{\lambda }^5}\frac{1}{{\mathrm{e}}^{hc/kT\lambda }-1}$$

• 普朗克能量子假说：频率为 $\nu$ 的谐振子，其能量取值为 ${\epsilon }_0=h\nu$ 的整数倍， ${\epsilon }_0=h\nu$ 称为能量子。

光的粒子性和波粒二象性

• 光电效应：

  1. 饱和电流：饱和电流与光强成正比，单位时间内从阴极发出的光电子数与光强成正比
  2. 遏止电压：遏止电压 $V_0$ 与光强无关
  3. 截止频率（红限）：$V_0$ 与 $\nu$ 成正比
  4. 弛豫时间

• 爱因斯坦光子假说

  1. 光子能量 $E=h\nu$
  2. $h\nu ={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_0^2+A=e{V}_0+A$ 其中 $A$ 为金属的脱出功（功函数）

• 康普顿效应

波尔原子模型与爱因斯坦辐射理论

• 波尔原子模型
• 爱因斯坦辐射理论
  1. 自发辐射、受激辐射、受激吸收
  2. 爱因斯坦系数
  $${\left(\frac{\mathrm{d}{N}_{21}}{\mathrm{d}t}\right)}_{\text{受激}}=B_{21}u(\nu )N_2$$$${\left(\frac{\mathrm{d}{N}_{12}}{\mathrm{d}t}\right)}_{\text{吸收}}=B_{12}u(\nu )N_1$$$${\left(\frac{\mathrm{d}{N}_{21}}{\mathrm{d}t}\right)}_{\text{自发}}=A_{21}{N}_2$$系数 $B_{21},B_{12},A_{21}$ 满足$$\frac{A_{21}}{B_{12}}=\frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}$$

激光的产生

• 激活介质中反转分布的实现

• 谐振腔的作用 阈值增益

  $$G_m=-\frac{1}{2L}\ln (R_1{R}_2)$$

• 激光 (laser,Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)

• 激光器 (受激辐射光振荡器)

激光器对频率的选择

每个谐振频率称为一个振荡纵模

• 纵模间隔 $\mathrm{\Delta }{\nu }_m={\displaystyle \frac{c}{2nL}}$
• 单模线宽 $\mathrm{\Delta }{\nu }_c={\displaystyle \frac{c(1-R)}{2\pi nL\sqrt{R}}}$
• 激活介质自身谱线的半值宽度 $\mathrm{\Delta }\nu$ ，主要影响因素：自然线宽、碰撞展宽、多普勒展宽

激光的特征及应用

• 激光光束特征：

1. 方向性好
2. 单色性好
3. 高亮度
4. 相干性好

• 应用： 激光测距、激光加工、医学、激光核聚变