全反对称三秩张量

$ε_{i j k}$ 的定义

$ε_{i j k}$ 称为列维-席维塔符号，其定义为

ε_{i j k} = {\begin{cases} + 1 & 若 i j k 为 123 的偶排列 \\ - 1 & 若 i j k 为 123 的奇排列 \\ 0 & 其他 \end{cases}

有关的基本公式有

(1)

\sum_{i j} ε_{i j k} ε_{i j l} = 2 δ_{k l}

(2)

\sum_{i} ε_{i j k} ε_{i l m} = δ_{i l} δ_{k m} - δ_{j m} δ_{k l}

(3) 当 ${\hat{e}}_{1}, {\hat{e}}_{2}, {\hat{e}}_{3}$ 是三个右手系正交单位矢量时

{\hat{e}}_{i} \times {\hat{e}}_{j} = \sum_{k} ε_{i j k} {\hat{e}}_{k}

应用

两个矢量矢积

记 $\vec{A} = A_{i} {\hat{e}}_{i}, \vec{B} = B_{j} {\hat{e}}_{j}$ ，则

\begin{aligned} \vec{A} \times \vec{B} & = A_{i} {\hat{e}}_{i} \times B_{j} {\hat{e}}_{j} \\ = A_{i} B_{j} {\hat{e}}_{i} \times {\hat{e}}_{j} \\ = ε_{i j k} A_{i} B_{j} {\hat{e}}_{k} \end{aligned}

INFO

采用爱因斯坦求和约定，即出现重复下标时默认对该下标遍历求和。